2.Transformation线性变换

标签：begin end 矩阵 pmatrix bmatrix alpha 线性变换 Transformation

WHY

我们通过摄像机对拍摄的画面进行缩放、旋转、偏移，来将三维模型映射到二维的屏幕画面上

二维线性变换

\[x^,=a~x+b~y\\y^,=c~x+d~y\\\begin{bmatrix}x^,\\y^, \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix}\\x^,=M~x \]

二维线性变换通用形式

1.缩放矩阵

\[\begin{bmatrix}x^,\\y^, \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}S&0 \\ 0&S \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix} \]

对于矩阵上任意点\(\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix}\)经过缩放矩阵后，结果为\(\begin{bmatrix}Sx\\Sy \\ \end{bmatrix}\)，比较好理解
当然，x轴和y轴方向的缩放不一定相同

2.反射矩阵

\[\begin{bmatrix}x^,\\y^, \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1 \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix} \]

对于矩阵上任意点\(\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix}\)经过反射后，结果为\(\begin{bmatrix}-x\\y \\ \end{bmatrix}\)，相当于图像对于y轴进行了反转

3.切变矩阵

\[\begin{bmatrix}x^,\\y^, \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&a\\0&1 \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix} \]

切变，具体表现为像拉着图像的一角向一个方向倾斜
观察可得当y=0时，图像在水平方向移动为0，当y=1时，图像在水平方向移动为a,且图像的y轴一直没有变化
得出结论，对于矩阵上任意点\(\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix}\)经过切变后，结果为\(\begin{bmatrix}x+ay\\y \\ \end{bmatrix}\)

4.旋转矩阵

前提：绕着原点（0，0）旋转，且默认逆时针旋转

\[R_\theta=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta&cos\theta \\ \end{bmatrix} \]

推导流程

通过特殊点\(A(0,1)\)经过旋转\(\theta\)角度，现在的坐标为\((cos\theta,sin\theta)\)，可得\(\begin{bmatrix}cos\theta\\sin\theta \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A~B\\C~D \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0 \\ \end{bmatrix}\),得到两个式子\(cos\theta=A*1+B*0=A,sin\theta=C*1+D*0=C\)
通过特殊点\(B(0,1)\)经过旋转\(\theta\)角度,现在的坐标为\(B(-sin\theta,cos\theta)\),可得\(\begin{bmatrix}-sin\theta\\cos\theta \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A~B\\C~D \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1 \\ \end{bmatrix}\),得到两个式子\(-sin\theta=A*0+B*1=B,cos\theta=C*0+D*1=D\)
得出\(A=cos\theta,B=-sin\theta,C=sin\theta,D=cos\theta\)

齐次座标

WHY

为什么要学习齐次座标，因为平移变换不能直接写成矩阵形式

\[\begin{bmatrix}x^,\\y^, \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix} \]

带入上面的通用式子后发现不能直接套用
为了统一标准表现矩阵的变换，大佬们引入了齐次座标
二维点=\((x,y,1)^T\)
二维向量=\((x,y,0)^T\)
二维点的平移矩阵如下

\[\begin{bmatrix}x^,\\y^,\\w^, \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y\\0&0&1 \\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y \\1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+t_x\\y+t_y\\1 \\ \end{bmatrix} \]

仿射变换

统一二维线性变换和平移变换，引入了仿射变换
仿射变换=线性变换+平移，类似结构如下

\[\begin{pmatrix}x^,\\y^, \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t_x\\t_y\end{pmatrix} \]

所有仿射变换可以写成齐次坐标形式

\[\begin{pmatrix}x^,\\y^,\\1 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a&b&t_x\\ c&d&t_y\\0&0&1 \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y \\1\\ \end{pmatrix} \]

缩放矩阵（齐次坐标）

\[S(s_x,s_y)=\begin{pmatrix} s_x&0&0 \\ 0&s_y&0 \\0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

旋转矩阵(齐次坐标)

\[R(\alpha)=\begin{pmatrix} cos\alpha&-sin\alpha&0\\sin\alpha&cos\alpha&0\\0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

平移矩阵（齐次坐标）

\[T(t_x,t_y)=\begin{pmatrix}1&0&t_x\\0&1&t_y\\0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

多种变换组合

要点

组合变换的顺序不能调换
运算的顺序为从右往左

例子：

图像先旋转45，再x轴平移1。

例题：这个矩阵如何变化到最终结果

先平移到原点（0，0）
旋转到相应角度
平移相同距离返回到移动前的位置

三维线性变换

3D point=\((x,y,z,1)^T\)
3D vector=\((x,y,z,0)^T\)

三维空间仿射变换

\[\begin{pmatrix}x^,\\y^,\\z^,\\1 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b&c&t_x\\d&e&f&t_y\\g&h&i&t^z\\0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y \\z\\1\\ \end{pmatrix} \]

缩放

\[S(s_x,s_y,s_z)=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

平移

\[T(t_x,t_y,t_z)=\begin{pmatrix}1&0&0&t_x\\0&1&0&t_y\\0&0&1&t_z\\0&0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

旋转

-绕x轴旋转

\[R_x(\alpha)=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&cos\alpha&-sin\alpha&0\\0&sin\alpha&cos\alpha&0\\0&0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

-绕y轴旋转

\[R_y(\alpha)=\begin{pmatrix}cos\alpha&0&sin\alpha&0\\0&1&0&0\\-sin\alpha&0&cos\alpha&0\\0&0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

-绕z轴旋转

\[R_z(\alpha)=\begin{pmatrix}cos\alpha&-sin\alpha&0&0\\sin\alpha&cos\alpha&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \\ \end{pmatrix} \]

绕x轴旋转，绕z轴旋转和绕y轴旋转矩阵为什么不一致
因为y轴是由z轴叉乘x轴获得的（根据右手螺旋定则，手指由z轴绕向x轴，大拇指方向为y轴方向）
x轴是由yXz得到，z轴是由xXy得到，y是相反的

罗德里格斯旋转公式：把任意旋转转化成矩阵形式

\[R(n,\alpha)=cos(\alpha)I+(1+cos(\alpha))nn^T+sin(\alpha)\underbrace{\begin{pmatrix}0&-n_z&n_y\\n_z&0&-n_x\\-n_y&n_x&0 \\ \end{pmatrix}}_{N} \]

推导流程

观测变换（Viewing Transformation）

视图、摄像机变换
投影变换
- 正交变换
- 透视变换

1.视图变换（View/Camera Transformation）

问题：怎么拍一张照片

选一个好地方，人摆好位置（model transformation）
选一个好的角度放置摄像机，包括摄像机的位置高度，朝向等（view transformation）
拍照，把三维空间投影到二维空间（projection transformation）

简称MVP变换

通过三个变量来确定摄像机的唯一属性
Position \(\color{red}\vec{e}\),摄像机在三维空间里的位置座标
Look-at/gaze direction \(\color{red}\hat{g}\)，表示摄像机的朝向
up direction \(\color{red}\hat{t}\)，摄像机自身向上的方向

约定摄像机摆放在原点（0，0，0），自身朝向以y轴为向上，以-z轴方向为观测方向

问题：怎么让一个摄像机回到原点并恢复默认观察状态

移动摄像机回到原点（0，0，0）
旋转\(\hat{g}\),使其朝向-z轴
旋转\(\hat{t}\),使其朝向y轴

简单的描述为先平移后旋转

NEXT:怎么用矩阵来表示？

\(M_{view}=R_{view}T_{view}\)
平移的矩阵好写的，但是旋转\(\hat{g}\)和旋转\(\hat{t}\)的矩阵比较复杂
但是从-Z、Y、X轴旋转到\(\hat{g},\hat{t}\)向量的逆矩阵很好写

得到逆矩阵
由于旋转矩阵是正交矩阵，矩阵的转置=逆矩阵,转置后获得了旋转矩阵

总结

拍摄的物体要和摄像机一起运动到相对位置上
摄像机自身朝向为y轴，拍摄方向为-Z轴

2.投影变换(Projection transformation)

把三维空间投影到二维空间

a)正交投影（Orthographic projection）

不管摄像机距离远近，一样的大小
常用于UI界面

常规方式理解正交投影操作

正交投影的操作类似于把一个已知长宽高的立方体，不同比例缩放到\((-1,1)^3\)的标准1体积立方体中来
首先，把立方体放置到原点（0，0，0）
然后把长宽高缩放到（-1，1）

矩阵怎么表示？

\[M_{ortho}=\begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&0\\0&0&\frac{2}{n-f}&0 \\0&0&0&1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1&0&0&-\frac{l+r}{2}\\ 0&1&0&-\frac{t+b}{2}\\0&0&1&-\frac{n+f}{2} \\0&0&0&1 \end{bmatrix} \]