二项式系数中的 \(\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle r^{\underline{k}}(r-\frac{1}{2})^{\underline{k}}=\frac{(2r)^{\underline{2k}}}{2^{2k}}, k\in \mathbb{N}\)
将下降幂展开后交替书写，比较显然。
两侧同除以 \(k!\) 导出如下公式：
\[\begin{align} &\binom{r}{k}\binom{r-\frac{1}{2}}{k}=\binom{2r}{2k}\binom{2k}{k}\frac{1}{2^{2k}}\\ &\binom{n-\frac{1}{2}}{n}=\binom{2n}{n}\frac{1}{4^n}\\ &\binom{-\frac{1}{2}}{n}=(\frac{-1}{4})^n\binom{2n}{n} \end{align} \]于是对于形如 \((x+y)^{\frac{1}{2}}\) 二项式展开后的情形，\((2),(3)\) 给出了一种优美的处理方式。
如上两式还给出了系数如 \(4^{-n}\) 或 \(\binom{2k}{k}\) 的一种处理办法。
比如下面这个例子：
\[\begin{aligned} &\sum_{k}{\binom{n}{2k}\binom{2k}{k}2^{-2k}}\\ =&\sum_{k}{\binom{\frac{n}{2}}{k}\binom{\frac{n-1}{2}}{k}}\\ =&\binom{n-\frac{1}{2}}{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \end{aligned} \]还有一个非常优美的恒等式
\[\begin{aligned} &\sum_{k}{\binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k}}\\ =&\sum_{k}{(-4)^k\binom{-\frac{1}{2}}{k}(-4)^{n-k}\binom{-\frac{1}{2}}{n-k}}\\ =&(-4)^n\binom{-1}{n}\\ =&4^n \end{aligned} \] 标签：frac,二十六日,sum,日记,binom,aligned,underline,九月,2k From： https://www.cnblogs.com/mklzc/p/16732815.html