思维导图
函数项级数笔记
一、函数列与一致收敛性
函数列的收敛与发散
设 \(f_1,f_2,\cdots,f_n,\cdots\) 是定义在 \(E\) 上的函数列，\(x_0\in E\)
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若数列 \(f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0)\cdots\) 收敛，则称函数列在点 \(x_0\) 收敛，\(x_0\) 称为函数列的收敛点；
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若数列 \(f_1(x_0),f_2(x_0),\cdots,f_n(x_0)\cdots\) 发散，则称函数列在点 \(x_0\) 发散；
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若函数列在数集 \(D\subset E\) 上每点都收敛，则称函数列在数集 \(D\) 上收敛，此时数集 \(D\) 上的每一个点 \(x\) 都有收敛数列 \(\{f_n(x)\}\) 的一个极限值与之对应，由这个对应法则可得一个 \(D\) 上的函数，称为函数列的极限函数. 记为
\[f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x), \quad x\in D \]
函数列极限的定义
对每个固定的 \(x\in D\)，\(\forall \varepsilon>0\)，恒存在正数 \(N(\varepsilon,x)\)，使得当 \(n>N\) 时，总有
\[|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon. \]收敛域的定义
使函数列 \(\{f_n\}\) 收敛的全体收敛点组成的集合.
函数列一致收敛的定义
设函数列 \(\{f_n\}\) 与函数 \(f\) 定义在同一数集 \(D\) 上，若对 \(\forall \varepsilon>0\)，总存在一个正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，对一切 \(x\in D\)，都有
\[|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon \]则称函数列 \(\{f_n\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(f\)，记作
\[f_n(x)\rightrightarrows f(x)\ \ (n\to\infty),\quad x\in D \]函数列一致收敛的充要条件
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Cauchy 准则：函数列 \(\{f_n\}\) 在数集 \(D\) 上一致收敛 \(\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists N>0\)，使得当 \(n,m>N\) 时，对一切 \(x\in D\)，都有
\[|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon. \] -
函数列 \(\{f_n\}\) 在数集 \(D\) 上一致收敛于 \(f\Longleftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0.\)
【推论】函数列 \(\{f_n\}\) 在数集 \(D\) 上不一致收敛于 \(f\Longleftrightarrow\exists\{x_n\}\subset D,\ \ s.t.\{f_n(x_n)-f(x_n)\}\) 不收敛于 \(0\).
函数列的内闭一致收敛
设函数列 \(\{f_n\}\) 与 \(f\) 定义在区间 \(I\) 上，若对 \(\forall [a,b]\subset I\)，\(f_n(x)\rightrightarrows f(x) \ (n\to\infty), \ x\in [a,b]\)，则称 \(\{f_n\}\) 在 \(I\) 上内闭一致收敛于 \(f\).
二、函数项级数与一致收敛性
术语、概念
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函数项级数
设 \(\{u_n(x)\}\) 是定义在数集 \(E\) 上的函数列，称
\[\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots,\quad x\in E \]为定义在 \(E\) 上的函数项级数，简记为 \(\sum u_n(x)\).
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部分和函数列
\[S_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x),\quad x\in E, \quad n=1,2,\cdots \]
函数项级数在某点 \(x_0\) 处的敛散性（数项级数）
设 \(x_0\in E\)，若
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数项级数 \(u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots+u_n(x_0)+\cdots\) 收敛，即 \(\lim\limits_{n\to\infty}S_n(x_0)\) 存在，称函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在 \(x_0\) 点收敛，\(x_0\) 为其收敛点.
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数项级数 \(u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots+u_n(x_0)+\cdots\) 发散，称函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在 \(x_0\) 点发散.
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若 \(D\) 为全体收敛点的集合，则称 \(D\) 为函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 的收敛域. 函数项级数在 \(D\) 上的每一个点 \(x\) 于其所对应的数项级数的和 \(S(x)\) 构成一个定义在 \(D\) 上的函数，称为函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 的和函数，写作
\[u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots=S(x),\quad x\in D \]即
\[\lim\limits_{n\to \infty}S_n(x)=S(x),\quad x\in D \]换句话说，函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列的收敛性.
函数项级数的一致收敛性
定义
设 \(\{S_n(x)\}\) 是函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 的部分和函数列，若函数列 \(S_n(x)\rightrightarrows S(x)\ (n\to\infty), \ \ x\in D\)，则称 \(\sum u_n\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(S(x)\). 若 \(\sum u_n(x)\) 在任意闭区间 \([a,b]\subset I\) 上一致收敛，则称 \(\sum u_n(x)\) 在 \(I\) 上内闭一致收敛.
充要条件
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函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在数集 \(D\) 上一致收敛 \(\Longleftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0\)，使得当 \(n>N\) 时，对一切 \(x\in D\) 和一切 \(p\in\mathbb{N}_+\)，都有
\[|S_{n+p}(x)-S_n(x)|<\varepsilon \]或
\[|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)|<\varepsilon. \] -
函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在数集 \(D\) 上一致收敛 \(\Longrightarrow\) 函数列 \(\{u_n(x)\}\) 在 \(D\) 上一致收敛于 \(0\).
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函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在数集 \(D\) 上一致收敛于 \(S(x)\) \(\Longleftrightarrow\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in D}|R_n(x)|=\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in D}|S(x)-S_n(x)|=0\).
判别法
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（Weierstrass 判别法）设函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 定义在数集 \(D\) 上，\(\sum M_n\) 为收敛的正项级数，若对一切 \(x\in D\)，有
\[|u_n(x)|\le M_n,\quad n=1,2,\cdots \]则函数项级数 \(\sum u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛.
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（Abel 判别法）设
- \(\sum u_n(x)\) 在区间 \(I\) 上一致收敛；
- 对每一个 \(x\in I, \ \{v_n(x)\}\) 是单调的；
- \(\{v_n(x)\}\) 在 \(I\) 上一致有界.
则级数 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛.
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（Dirichlet 判别法）设
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\(\sum u_n(x)\) 的部分和函数列
\[U_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x),\quad (n=1,2,\cdots) \]在 \(I\) 上一致有界；
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对每一个 \(x\in I\)，\(\{v_n(x)\}\) 是单调的；
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在 \(I\) 上 \(v_n(x)\rightrightarrows 0 \ (n\to\infty)\).
则级数 \(\sum u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛.
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