函数项级数

一致收敛性

在一个数项级数中，每个项都是一个常数：\(a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\)。现在有一系列数项级数，我们可以把每一项都看作是关于某个自变量\(x\)的函数\(a_i(x)\)，这样我们也得到一个“级数”\(a_1(x)+a_2(x)+\cdots+a_n(x)+\cdots\)。我们发现如果这个和是收敛的，那么这个和本身也是一个关于\(x\)的函数。我们就把这个“级数”称为函数项级数。它就定义为\(S(x)=\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}u_i(x)\)。

不同的数项级数，有的收敛有的发散，因此对于不同的\(x\)，函数项级数\(S(x)\)的敛散性也可能不同。如果对于某个\(x_0\)，\(S(x_0)\)是收敛的，就称\(x_0\)是收敛点。如果定义域上的每个\(x\)都是收敛点，那么称这个函数是“点态收敛”的。之所以不简单地把它称为“收敛”是因为我们发现，这种“点态收敛”似乎并不是一个非常好的性质——

我们的函数项级数\(S(x)\)本身是一个关于\(x\)的函数，因此我们想要研究它的分析性质：连续性、导数、Riemann可积性等等。一个很自然的想法是， 能否由级数的“项”的分析性质直接推出级数的性质？这是我们的猜想，我们的猜想是基于这一想法在有限个数的时候是成立的（有限个连续函数的和依然连续，有限个函数的导数的和等于和的导数，有限可积函数的和依然可积）。而级数是无限个数的求和，是先求和再取极限的过程。我们的“分析性质”本身也是一个极限过程。所以当我们试图从项的分析性质推到级数的分析性质时，其实是在问：我们对每一项做某个极限再对整体求和的极限，是否等价于先对整体求和取极限，再进行我们刚才对每个项所作的极限？更简单地说，我们能否交换取极限的顺序？遗憾的是，我们发现一个仅仅满足“点态收敛”函数项级数是不能这样交换求极限的顺序的。我们分别举出三个反例，对应这三个性质（其中\(S_n(x)\)表示\(u_n(x)\)的前缀和，这两种描述方式是等价的）：①\(S_n(x)=x^n\)，则对于\(x \in (-1,1)\)都有\(S(x)=0\)，而\(S(1)=1\)，可见尽管\(x^n\)关于\(x\)连续但\(S(x)\)却在\(x=1\)处间断了；②\(S_n(x)=\dfrac{\sin nx}{\sqrt{n}}\)，根据Abel-Dirichlet判别法它对任意\(x\)都收敛于0，因此\(S(x) \equiv 0\)，\(S'(x) \equiv 0\)；然而\(S'_n(x)=\sqrt{n}\cos nx\)，显然不恒等于0。可见不能由每一项的导数之和推出和的导数。③依次列出\([0,1]\)上的有理数\(q_1,q_2,\cdots,q_n,\cdots\)，\(S_n(x)=1\)当且仅当\(x \in \{q_1,\cdots,q_n\}\)，否则\(S_n(x)=0\)。对于\([0,1]\)上的任意一个\(x\)，如果\(x\)是无理数那么\(S_n(x)\)恒为0，因此收敛于0；如果\(x\)是有理数，那么当\(n\)充分大以后\(S_n(x)\)恒为1，因此收敛于1。可见\(S(x)\)其实就是Dirichlet函数，它是不可积的。但是对于每个\(S_n(x)\)，此时我们\(n\)没有做极限过程，因此是有限的，它只有当\(x\)取\(q_1,\cdots,q_n\)这有限个点时不为0，因此是可积的。可见每个函数都可积不能推出它们的和也可积。

我们在从更高的角度来看我们遇到的问题。点态收敛是在每个自变量上级数收敛，级数收敛就是数列收敛，数列收敛是一种度量，因此点态收敛也是某种度量。 一列Riemann可积的函数在点态收敛的条件下求和变得Riemann不可积，这说明Riemann可积这种操作在点态收敛的度量下是“不完备”的。想要让不完备变得完备有两种方法，一种是加强操作，一种是加强度量。人们发现如果把Riemann可积加强为Lebesgue可积，那么就变得完备了。这类似于在“数列极限”的度量下只有把有理数推广至无理数才能实现完备化。而在连续的例子中，我们的问题是连续函数在点态收敛的度量下是不完备的，这时人们发现如果把“点态收敛”这一度量加强为“一致收敛”，我们就再次实现了完备化。 现在我们就来讨论一致收敛。

类似于“一致连续”的概念，不保证“一致”的函数在不同点极限速度不同。在“点态收敛”中，不同的\(x\)对应的数项级数可能在趋向极限的速度上相差很大，一致连续就是为了保证速度的差别不能太大。如果把点态收敛用\(\varepsilon-\delta\)语言叙述，那么不同的\(x\)对应的\(N\)不仅取决于\(\varepsilon\)还取决于\(x\)。如果能找到不依赖于\(x\)的\(N\)那么就实现了一致收敛——即如果\(\forall \varepsilon\)都能找到\(N\)使得\(n>N\)时\(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)对所有的\(x\)恒成立，就称这个函数项级数一致收敛。几何上表现为，当\(n\)充分大时\(S_n(x)\)必须被包裹在\(S(x)\)上下波动\(\varepsilon\)的带状区域里。

进一步观察一致连续的定义发现，“\(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)对所有的\(x\)恒成立”这句话其实是对两个函数\(S_n,S\)进行某种度量。如果我们把这种度量专门给出一个定义，那么我们就可以抛开\(x\)直接谈论这两个函数了。这时函数直接成了我们讨论的对象，而不用思考它背后的意义。这个定义自然就是\(d(f,g):=\sup\limits_{x \in D} |f(x)-g(x)|\)（因为考虑到了在非紧集中最大值可能不存在，所以写成上确界的形式）。此时我们惊奇的发现，当我们把“函数项级数”按照这种方式来度量时，“一致收敛”这一概念在形式上与“数列的收敛”完全吻合。也就是我们可以把函数当作一个数字来看待。更伟大的是，由于这一定义的结构的吻合性， 所有关于数列的定理此时都可以搬到函数项级数上，只要把数列极限中距离的度量修改为\(d\)，把数列的收敛修改为函数项级数的一致收敛！

于是我们根据数列的Cauchy收敛原理——数列收敛的等价描述——直接得到函数项级数一致收敛的等价描述：\(\forall \varepsilon>0\)，如果存在\(N\)使得\(\forall m>n>N\)都有\(d(S_n,S_m)<\varepsilon\)恒成立，那么\(S(x)\)一致收敛。它同样帮助我们抛开极限值来判定收敛。

根据Cauchy收敛原理，如果某个函数项级数\(\sum u_i(x)\)满足\(|u_i(x)| \leq a_i\)恒成立，其中\(\sum a_i\)是一个收敛的数项级数（非负项级数），那么我们可以直接推知\(\sum u_i(x)\)一致收敛。因为当\(n,m\)足够大时\(|u_n|+\cdots+|u_m| \leq a_n+\cdots+a_m\)，如果对\(a_i\)也用Cauchy收敛原理就会得到右侧是任意小的，所以左侧也被迫任意小， 这就符合了函数项级数一致收敛（本质上也是Cauchy收敛原理）的判定条件了。（不仅如此，我们还可以得出\(\sum |u_i(x)|\)也是一致收敛的，这个结论更强。）这就是Weierstrass判别法，它告诉我们如果能用一个收敛的数项级数来bound函数项级数，那么这个函数项级数就一致收敛——因为这个数项级数迫使这些函数项级数以相同的步调趋向极限，不能有人落队。