首页 > 其他分享 >函数项级数

函数项级数

时间:2023-05-19 18:13:34浏览次数:39  
标签:可积 函数 级数 点态 cdots 收敛

一致收敛性

在一个数项级数中,每个项都是一个常数:\(a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\)。现在有一系列数项级数,我们可以把每一项都看作是关于某个自变量\(x\)的函数\(a_i(x)\),这样我们也得到一个“级数”\(a_1(x)+a_2(x)+\cdots+a_n(x)+\cdots\)。我们发现如果这个和是收敛的,那么这个和本身也是一个关于\(x\)的函数。我们就把这个“级数”称为函数项级数。它就定义为\(S(x)=\lim\limits_{n \to +\infty}\sum\limits_{i=1}^{n}u_i(x)\)。

不同的数项级数,有的收敛有的发散,因此对于不同的\(x\),函数项级数\(S(x)\)的敛散性也可能不同。如果对于某个\(x_0\),\(S(x_0)\)是收敛的,就称\(x_0\)是收敛点。如果定义域上的每个\(x\)都是收敛点,那么称这个函数是“点态收敛”的。之所以不简单地把它称为“收敛”是因为我们发现,这种“点态收敛”似乎并不是一个非常好的性质——

我们的函数项级数\(S(x)\)本身是一个关于\(x\)的函数,因此我们想要研究它的分析性质:连续性、导数、Riemann可积性等等。一个很自然的想法是, 能否由级数的“项”的分析性质直接推出级数的性质?这是我们的猜想,我们的猜想是基于这一想法在有限个数的时候是成立的(有限个连续函数的和依然连续,有限个函数的导数的和等于和的导数,有限可积函数的和依然可积)。而级数是无限个数的求和,是先求和再取极限的过程。我们的“分析性质”本身也是一个极限过程。所以当我们试图从项的分析性质推到级数的分析性质时,其实是在问:我们对每一项做某个极限再对整体求和的极限,是否等价于先对整体求和取极限,再进行我们刚才对每个项所作的极限?更简单地说,我们能否交换取极限的顺序?遗憾的是,我们发现一个仅仅满足“点态收敛”函数项级数是不能这样交换求极限的顺序的。我们分别举出三个反例,对应这三个性质(其中\(S_n(x)\)表示\(u_n(x)\)的前缀和,这两种描述方式是等价的):①\(S_n(x)=x^n\),则对于\(x \in (-1,1)\)都有\(S(x)=0\),而\(S(1)=1\),可见尽管\(x^n\)关于\(x\)连续但\(S(x)\)却在\(x=1\)处间断了;②\(S_n(x)=\dfrac{\sin nx}{\sqrt{n}}\),根据Abel-Dirichlet判别法它对任意\(x\)都收敛于0,因此\(S(x) \equiv 0\),\(S'(x) \equiv 0\);然而\(S'_n(x)=\sqrt{n}\cos nx\),显然不恒等于0。可见不能由每一项的导数之和推出和的导数。③依次列出\([0,1]\)上的有理数\(q_1,q_2,\cdots,q_n,\cdots\),\(S_n(x)=1\)当且仅当\(x \in \{q_1,\cdots,q_n\}\),否则\(S_n(x)=0\)。对于\([0,1]\)上的任意一个\(x\),如果\(x\)是无理数那么\(S_n(x)\)恒为0,因此收敛于0;如果\(x\)是有理数,那么当\(n\)充分大以后\(S_n(x)\)恒为1,因此收敛于1。可见\(S(x)\)其实就是Dirichlet函数,它是不可积的。但是对于每个\(S_n(x)\),此时我们\(n\)没有做极限过程,因此是有限的,它只有当\(x\)取\(q_1,\cdots,q_n\)这有限个点时不为0,因此是可积的。可见每个函数都可积不能推出它们的和也可积。

我们在从更高的角度来看我们遇到的问题。点态收敛是在每个自变量上级数收敛,级数收敛就是数列收敛,数列收敛是一种度量,因此点态收敛也是某种度量。 一列Riemann可积的函数在点态收敛的条件下求和变得Riemann不可积,这说明Riemann可积这种操作在点态收敛的度量下是“不完备”的。想要让不完备变得完备有两种方法,一种是加强操作,一种是加强度量。人们发现如果把Riemann可积加强为Lebesgue可积,那么就变得完备了。这类似于在“数列极限”的度量下只有把有理数推广至无理数才能实现完备化。而在连续的例子中,我们的问题是连续函数在点态收敛的度量下是不完备的,这时人们发现如果把“点态收敛”这一度量加强为“一致收敛”,我们就再次实现了完备化。 现在我们就来讨论一致收敛。

类似于“一致连续”的概念,不保证“一致”的函数在不同点极限速度不同。在“点态收敛”中,不同的\(x\)对应的数项级数可能在趋向极限的速度上相差很大,一致连续就是为了保证速度的差别不能太大。如果把点态收敛用\(\varepsilon-\delta\)语言叙述,那么不同的\(x\)对应的\(N\)不仅取决于\(\varepsilon\)还取决于\(x\)。如果能找到不依赖于\(x\)的\(N\)那么就实现了一致收敛——即如果\(\forall \varepsilon\)都能找到\(N\)使得\(n>N\)时\(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)对所有的\(x\)恒成立,就称这个函数项级数一致收敛。几何上表现为,当\(n\)充分大时\(S_n(x)\)必须被包裹在\(S(x)\)上下波动\(\varepsilon\)的带状区域里。

进一步观察一致连续的定义发现,“\(|S_n(x)-S(x)|<\varepsilon\)对所有的\(x\)恒成立”这句话其实是对两个函数\(S_n,S\)进行某种度量。如果我们把这种度量专门给出一个定义,那么我们就可以抛开\(x\)直接谈论这两个函数了。这时函数直接成了我们讨论的对象,而不用思考它背后的意义。这个定义自然就是\(d(f,g):=\sup\limits_{x \in D} |f(x)-g(x)|\)(因为考虑到了在非紧集中最大值可能不存在,所以写成上确界的形式)。此时我们惊奇的发现,当我们把“函数项级数”按照这种方式来度量时,“一致收敛”这一概念在形式上与“数列的收敛”完全吻合。也就是我们可以把函数当作一个数字来看待。更伟大的是,由于这一定义的结构的吻合性, 所有关于数列的定理此时都可以搬到函数项级数上,只要把数列极限中距离的度量修改为\(d\),把数列的收敛修改为函数项级数的一致收敛!

于是我们根据数列的Cauchy收敛原理——数列收敛的等价描述——直接得到函数项级数一致收敛的等价描述:\(\forall \varepsilon>0\),如果存在\(N\)使得\(\forall m>n>N\)都有\(d(S_n,S_m)<\varepsilon\)恒成立,那么\(S(x)\)一致收敛。它同样帮助我们抛开极限值来判定收敛。

根据Cauchy收敛原理,如果某个函数项级数\(\sum u_i(x)\)满足\(|u_i(x)| \leq a_i\)恒成立,其中\(\sum a_i\)是一个收敛的数项级数(非负项级数),那么我们可以直接推知\(\sum u_i(x)\)一致收敛。因为当\(n,m\)足够大时\(|u_n|+\cdots+|u_m| \leq a_n+\cdots+a_m\),如果对\(a_i\)也用Cauchy收敛原理就会得到右侧是任意小的,所以左侧也被迫任意小, 这就符合了函数项级数一致收敛(本质上也是Cauchy收敛原理)的判定条件了。(不仅如此,我们还可以得出\(\sum |u_i(x)|\)也是一致收敛的,这个结论更强。)这就是Weierstrass判别法,它告诉我们如果能用一个收敛的数项级数来bound函数项级数,那么这个函数项级数就一致收敛——因为这个数项级数迫使这些函数项级数以相同的步调趋向极限,不能有人落队。

标签:可积,函数,级数,点态,cdots,收敛
From: https://www.cnblogs.com/qixingzhi/p/17415956.html

相关文章

  • Jmeter函数助手8-counter
    counter函数根据线程数计数。counterTRUE,每个用户有自己的计数器;FALSE,使用全局计数器:即线程之间是否需要共享累加计数器,TRUE否,FALSE是存储结果的变量名(可选)  1、线程之间共享累加计数器${__counter(,)}2、线程之间不共享计数器${__counter(TRUE,)} 3、线程之间共享......
  • c++函数参数和返回值
    c++函数参数和返回值函数存储位置函数参数入栈顺序初始化列表函数的返回值用参数引用来返回返回一个参数指针返回一个对象总结函数的几种变体inline函数函数对象lambda函数c++函数参数和返回值c++一直以来是一个关注效率的代码,这样关于函数的参数传递......
  • 多态、虚函数表、底层实现、多重继承的问题及处理
    本文代码摘自 http://dwz.date/PST;视频解析:十分钟带你搞明白虚函数、虚表、多态的原理以及多重继承带来的问题_哔哩哔哩_bilibili1、多态:基类指针只能调用基类的成员函数,不能调用派生类的成员函数;如果在基类的成员函数前加上virtual关键字,把它声明为虚函数;基类指针就可以......
  • 函数指针和指针函数
    目录0、摘要1、指针函数2、函数指针3、函数指针数组4、将函数作为传参传入另一个函数5、以下两个指针能分析清楚的话,那么99%的C语言指针问题都难不住你。参考:0、摘要指针函数是返回指针的函数,函数指针是指向函数的指针。int*FunctionReturnsPtr(inta);//返回值为指......
  • 第十四篇——如何用通达信绘图函数画线?(从零起步编写通达信指标公式系列)
    内容提要:本文主要介绍了通达信指标公式常用绘图函数的第一种类型——画线函数,讲解了DRAWNULL、NODRAW、PLOYLINE、DRAWSL这四个画线函数的具体用法。 在上一篇文章中,给大家简单介绍了通达信指标公式绘图函数的三种类型,接下来将详细讲解这些函数的具体用法。说到绘图函数,就不......
  • hdu:gcd(欧拉函数)
    ProblemDescriptionThegreatestcommondivisorGCD(a,b)oftwopositiveintegersaandb,sometimeswritten(a,b),isthelargestdivisorcommontoaandb,Forexample,(1,2)=1,(12,18)=6.(a,b)canbeeasilyfoundbytheEuclideanalgorithm.NowCarpiscon......
  • Jmeter函数助手6-time
    time函数用于获取不同格式的当前时间(年月日时分秒)。FormatstringforSimpleDateFormat(optional):时间格式存储结果的变量名(可选) 1、不传参数默认生成的是当前时间毫秒时间戳时间戳是从1970年1月1日(UTC/GMT的午夜)开始所经过的秒数2、也可以传入我们想要的时间格式来......
  • 实验4 函数与异常处理编程
    实验任务1:实验源码:print(sum)sum=42print(sum)definc(n):sum=n+1print(sum)returnsumsum=inc(7)+inc(7)print(sum)实验运行截图:答:line1:内置函数line3:变量名line7:局部变量line11:全局变量 实验任务2:task2_1:实验源码:deffunc1(a......
  • JavaScript学习笔记: 函数
    概念在js中,函数与其他类型一样,是一个支持所有操作的值,是一个对象,是编程语言里的“一等公民”函数是一个代码块,每被调用一次,其代码就会执行一次。函数有一个被{}包裹的函数体,具体的逻辑代码就写在里面。使用return关键字返回函数的计算结果,如果没有返回值,那函数调用表达式的值......
  • js 使用 eval 函数优化条件查询
    我们在写代码的使用,经常会遇到ifelse很长很长的代码,这种要怎么优化,一直是仁者见仁智者见智的我说下我的优化方案原始代码例如:if(income<=10000){ returnincome*0.365;}elseif(income<=30000){ return(income-10000)*0.2+35600;}elseif(income<=60000)......