级数

数列、数列极限

• 数列：\(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots\)，用通项公式 \(a_n\) 表示。
• 数列极限：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = A\)，表示当 \(n\) 趋近无穷大时，数列的值趋近于一个常数 \(A\)。

级数概念

• 级数：\(s_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)，表示数列 \(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\) 的和。
• 部分和数列：\(s_1,s_2,s_3,\ldots\)，其中 \(s_n\) 表示数列 \(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\) 的和。
• 收敛和发散：当 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} s_n = S\) 存在时，称级数 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 收敛于 \(S\)；否则称级数 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 发散。

常见数列

• 等差数列：\(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中 \(a_1\) 表示首项，\(d\) 表示公差。
• 等比数列：\(a_n = a_1 q^{n-1}\)，其中 \(a_1\) 表示首项，\(q\) 表示公比。
• 调和数列：\(a_n = \dfrac{1}{n}\)，第 \(n\) 项为 \(\dfrac{1}{n}\)。
• 指数数列：\(a_n = k^n\)，其中 \(k\) 为正实数。

级数审敛法

• 比较审敛法：若存在正数数列 \(\{b_n\}\)，使得对所有 \(n\)，都有 \(|a_n| \leq b_n\)，则由 \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) 收敛可推出 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 收敛；由 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 发散可推出 \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) 发散。
• 比值审敛法：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L\)，当 \(L < 1\) 时，级数 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 收敛；当 \(L > 1\) 时，级数 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 发散；当 \(L = 1\) 时，无法判断级数的敛散性。
• 积分审敛法：若 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上单调递减且非负可积，且 \(a_n = f(n)\)，则 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 收敛当且仅当 \(\int_1^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。
• 级数比较审敛法：设 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 和 \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) 为两个级数，满足对于充分大的 \(n\)，有 \(|a_n| \leq b_n\)，则当 \(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) 收敛时，\(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 收敛；当 \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) 发散时，\(\sum\limits_{k=1}^\infty b_k\) 发散。

傅里叶级数

基本概念

• 周期函数：一个函数 \(f(x)\) 是周期函数，当存在一个正数 \(T\)，使得对于所有的 \(x\)，都有 \(f(x+T) = f(x)\)。
• 傅里叶级数：对于一个周期为 \(T\) 的函数 \(f(x)\)，它的傅里叶级数为 \(f(x)\) 的三角级数表示，即 \(f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^\infty [a_n \cos(\dfrac{2\pi nx}{T}) + b_n \sin(\dfrac{2\pi nx}{T})]\)。
• 傅里叶系数：傅里叶级数中的系数为 \(a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots\)，其中 \(a_0 = \dfrac{1}{T} \int_0^T f(x) dx\)，\(a_n = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos(\dfrac{2\pi nx}{T}) dx\)，\(b_n = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin(\dfrac{2\pi nx}{T}) dx\)。

傅里叶级数的性质

• 奇偶性：若 \(f(x)\) 为奇函数，则其傅里叶级数中不存在余弦项，只有正弦项；若 \(f(x)\) 为偶函数，则其傅里叶级数中不存在正弦项，只有余弦项。
• 周期延拓：对于周期为 \(T\) 的函数 \(f(x)\)，可以将其在一个周期内的定义延拓到整个实轴上，使得它在实轴上也是一个周期函数。此时，其傅里叶系数不变。
• 级数收敛性：对于连续函数 \(f(x)\)，其傅里叶级数一定收敛，且等于 \(f(x)\)。对于不连续但是有限的函数 \(f(x)\)，其傅里叶级数也收敛，但是可能不等于 \(f(x)\)。
• 收敛速度：对于连续函数 \(f(x)\)，其傅里叶级数的收敛速度可以用傅里叶级数收敛定理描述，即 \(\sum\limits_{n=-\infty}^\infty |c_n| < \infty\)，其中 \(c_n = \dfrac{1}{T} \int_0^T f(x) e^{-\frac{2\pi inx}{T}} dx\)。

常见傅里叶级数

• 方波函数：\(f(x) = \begin{cases} -1, &-\pi < x < 0 \\ 1, &0 < x < \pi \end{cases}\)，其傅里叶级数为 \(f(x) = \dfrac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)} \sin((2n-1)x)\)。
• 锯齿波函数：\(f(x) = x\)，在 \([-\pi,\pi]\) 上的周期延拓函数的傅里叶级数为 \(f(x) = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{4}{\pi} \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2} \cos((2n-1)x)\)。
• 指数函数：\(f(x) = e^{ax}\)，在 \([-\pi,\pi]\) 上的周期延拓函数的傅里叶级数为 \(f(x) = \dfrac{e^{a\pi}}{2\pi} \sum\limits_{n=-\infty}^\infty \dfrac{1}{a+in} e^{inx}\)。