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重积分考研综合详细复习提纲

1. 双重积分

1.1 定义和性质

• 定义：双重积分的定义是将二元函数在一个平面区域上的积分拆分成两个依次进行的积分，即

\[\iint_D f(x,y) d\sigma = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) dy dx \]

其中 \(D\) 是平面上的一个有界闭区域，\(d\sigma\) 是 \(D\) 上的面积元素，\(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是曲线 \(x=x_1\) 和 \(x=x_2\) 在 \(D\) 中的截距函数。

• 性质：双重积分具有线性性、可加性、保号性、单调性和平移不变性等性质。

1.2 计算方法

• 直角坐标系下的计算方法：通过换序积分、极限换元法、倍量积分法、对称性等方法计算双重积分。
• 极坐标系下的计算方法：通过将直角坐标系下的双重积分转换为极坐标系下的双重积分来计算。

1.3 应用

• 计算平面图形的面积、质心、惯性矩等物理量。
• 计算函数在二维区域上的平均值和方差等统计量。

2. 三重积分

2.1 定义和性质

• 定义：三重积分的定义是将三元函数在一个空间区域上的积分拆分成三个依次进行的积分，即

\[\iiint_V f(x,y,z) dv = \int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1(z)}^{y_2(z)} \int_{x_1(y,z)}^{x_2(y,z)} f(x,y,z) dx dy dz \]

其中 \(V\) 是空间中的一个有界闭区域，\(dv\) 是 \(V\) 上的体积元素，\(x_1(y,z)\)、\(x_2(y,z)\)、\(y_1(z)\) 和 \(y_2(z)\) 分别是曲面 \(z=z_1\) 和 \(z=z_2\) 在 \(V\) 中的截线函数。

• 性质：三重积分具有线性性、可加性、保号性、单调性和平移不变性等性质。

2.2 计算方法

• 直角坐标系下的计算方法：通过换序积分、极限换元法、倍量积分法、对称性等方法计算三重积分。
• 柱坐标系和球坐标系下的计算方法：通过将直角坐标系下的三重积分转换为柱坐标系或球坐标系下的三重积分来计算。

2.3 应用

• 计算空间图形的体积、质心、惯性矩等物理量。
• 计算函数在三维区域上的平均值和方差等统计量。

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