1. 有界变差函数

1.1 有界变差函数及性质

　　我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有限函数，并取\([a,b]\)的分组点\(D=\{x_0=a,x_1\cdots,a_n=b\}\)，则和式（1）称为\(f(x)\)对分组点\(D\)的变差。如果所有变差都有界，则\(f(x)\)称为\([a,b]\)上的有界变差函数，所有变差的上确界称为\(f(x)\)的全变差（式（2）），而\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f)\)则称为\(f(x)\)的变差函数。不难证明，单调函数以及满足Lipschitz条件（式（3）,M为常数）的函数都是有界变差函数，而且有界变差函数本身也是有界函数。

\[V_f(D)=\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|\tag{1}\]

\[\bigvee_a^b(f)=\underset{D}{\sup}\;V_f(D)\tag{2}\]

\[|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|,\;x,y\in[a,b]\tag{3}\]

　　现在来证明有界变差函数对基本运算的封闭性，假定\(f(x),g(x)\)都是有界变差的。首先对式（1）使用简单的绝对值不等式，容易证明线性运算\(\alpha f(x)+\beta g(x)\)也是有界变差函数，且有式（4）成立。再对式（1）使用不等式（5），就能证明\(f(x)g(x)\)也是有界变差函数。然后设\(a<c<b\)，由于\([a,c],[c,b]\)的分组点之并一定是\([a,b]\)的分组点，则有\(\underset{a}{\overset{b}{\bigvee}}\geqslant\underset{a}{\overset{c}{\bigvee}}+\underset{c}{\overset{b}{\bigvee}}\)；另外\([a,b]\)的分组点添加\(c\)后又一定是\([a,c],[c,b]\)分组点之并，从而有\(\underset{a}{\overset{b}{\bigvee}}\leqslant\underset{a}{\overset{c}{\bigvee}}+\underset{c}{\overset{b}{\bigvee}}\)，综合便有式（6）。最后如果函数列\(\{f_n(x)\}\)处处收敛于\(f(x)\)，而它们都是有界变差函数、且全变差有界，则使用极限与有限加法的可交换性，不难证明\(f(x)\)也是有界变差函数，且有式（7）成立。

\[\bigvee_a^b(\alpha f+\beta g)\leqslant |\alpha|\bigvee_a^b(f)+|\beta|\bigvee_a^b(g)\tag{4}\]

\[|f_1g_1-f_2g_2|\leqslant M|f_1-f_2|+M|g_1-g_2|,\; M=\max(f,g)\tag{5}\]

\[\bigvee_a^b(f)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)\tag{6}\]

\[\bigvee_a^b(f)\leqslant\underset{n}{\sup}\;\bigvee_a^b(f_n)\tag{7}\]

1.2 Jordan分解定理

　　直观上，变差函数\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f)\)其实是把\(f(x)\)的所有“起伏”都改成正向的。自然地可以想到，如果把\(f(x)\)的“起”\(\phi(x)\)和“伏”\(\psi(x)\)拆分开来，那么应该有式（9）成立。然而\(\phi,\psi\)的严格定义，反过来还是需要借助\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f)\)，请自行证明，式（8）的正变差函数\(\phi(x)\)和负变差函数\(\psi(x)\)都是单调增加函数。这时式（9）称为正规分解，该结论也称Jordan分解定理。分解定理可以把许多对有界变差函数的讨论拆分到单调函数上，比如不难得知，有界变差函数的不连续点都是第一类的、且只有可列个，以及有界变差函数处处可微、并且导函数Lebesgue可积。

\[\phi(x),\;\psi(x)=\dfrac{1}{2}\left(\bigvee_a^x(f)\pm (f(x)-f(a))\right)\tag{8}\]

\[f(x)-f(a)=\phi(x)-\psi(x);\;\bigvee_a^x(f)=\phi(x)+\psi(x)\tag{9}\]

　　更进一步地，还可以得到\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f)\)与\(f(x)\)有着相同的左（右）方连续点，请利用变差函数的定义自行证明。这样\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f)\)与\(f(x)\)就有相同的连续点和不连续点。另外也可以从\(f(x)\)抽取出跳跃函数\(\varphi(x)\)，使得\(f(x)-\varphi(x)\)为连续的有界变差函数，不难证明所有跳跃值的绝对值和不超过\(\underset{a}{\overset{b}{\bigvee}}(f)\)。

1.3 Helly选取原理

　　最后来介绍有界变差函数族\(\{f_\alpha|\alpha\in\Lambda\}\)的重要性质：Helly选取原理，其中\(\Lambda\)为无限指标集。先把\(\{f_\alpha(x)\}\)限定在可列集\(E=\{x_1,x_2,\cdots\}\)上，并且假定它们是一致有界的。根据有界性和指标的无限性，在\(x_1\)上一定存在收敛数列\(f_{\alpha_{1k}}(x_1)\)，继而在\(x_2\)上也存在收敛数列\(f_{\alpha_{2k}}(x_2)\)，其中\(\{\alpha_{2k}\}\subset\{\alpha_{1k}\}\)。以此类推得到下标集\(\{\alpha_{jk}\}\)，取其子集\(\{\alpha_{kk}\}\)，不难证明函数列\(\{f_{\alpha_{kk}}\}\)在\(E\)上处处收敛。所以如果函数簇\(\{f_\alpha(x)\}\)在\([a,b]\)上一致有界，则存在子函数列\(\{f_{\alpha_k}(x)\}\)在\([a,b]\)的全体有理数集\(E\)上处处收敛于\(f(x)\)。

　　现在再假定\(\{f_\alpha(x)\}\)在\([a,b]\)都是单调增加的，则刚才得到的\(f(x)\)在\(E\)上也是单调的；按式（10）补充\(f(x)\)的定义，显然\(f(x)\)在\([a,b]\)上还是单调增加的。记\(f(x)\)的不连续点集为\(E_0\)，对任意\(x_0\in([a,b]-E_0)\)，使用\(x_0\)的连续性以及在有理点\(f_{\alpha_k}(x)\to f(x)\)，不难证明也有\(f_{\alpha_k}(x_0)\to f(x_0)\)。另外由于\(E_0\)是可列集，则可以再取函数列\(\{f_{\alpha'_k}(x)\}\)（其中\(\{\alpha'_k\}\subset\{\alpha_k\}\)），使得它们在\(E_0\)上收敛于\(g(x)\)。将\(f(x)\)在\(E_0\)上的值修正为\(g(x)\)，则\(\{f_{\alpha'_k}(x)\}\)处处收敛于\(f(x)\)。

\[f(x)=\underset{\xi\in E,\,\xi<x}{\sup}f(\xi),\;(x\in ([a,b]-E))\tag{10}\]

　　最后再把条件放宽到\(\{f_\alpha(x)\}\)都是\([a,b]\)上一致有界的有界变差函数，并且\(\{\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(f_\alpha)\}\)也一致有界。做Jordan分解\(f_{\alpha}(x)=\phi_\alpha(x)-\psi_\alpha(x)\)，其中\(\{\phi_\alpha(x)\},\{\psi_\alpha(x)\}\)都是一致有界的单调递增的函数簇。则存在函数列\(\{\phi_{\alpha_k}(x)\}\)处处收敛于单调递增函数\(\phi(x)\)，然后还可以取函数列\(\{\psi_{\alpha'_k}(x)\}\)处处收敛于单调递增函数\(\psi(x)\)，其中\(\{\alpha'_k\}\subset\{\alpha_k\}\)。这样就有函数列\(\{f_{\alpha'_k}(x)\}\)处处收敛于\(f(x)=\phi(x)-\psi(x)\)，显然\(f(x)\)是有界变差函数。

2. 微积分基本定理

　　在微积分中，牛顿-莱布尼兹定理被称为“微积分基本定理”。命题的主体是导函数\(f(x)=F'(x)\)，定理描述为连续函数\(f(x)\)的积分与原函数\(F(x)\)的关系。然而从测度的角度，\(f(x)\)的连续性还是太强了，本段就来寻找更弱、更普遍的条件。另外，命题的主体可以区分为可积函数\(f(x)\)和可导函数\(F(x)\)，从而问题被拆分为两个不同的方向。一个是对可积函数\(f(x)\)的积分函数求导，结果与\(f(x)\)会有什么关系？另一个则是，函数\(F(x)\)的导函数的积分，与\(F(x)\)又会有什么关系？以及这些关系成立的条件。

2.1 积分的导数与Legesgue点

　　先来看第一个问题，对\([a,b]\)上的任意Lebesgue可积函数\(f(x)\)，它的积分其实分为独立的正负两部分\(\int f^+,\,\int f^-\)，从而积分函数\(\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\)就是两个单调增加函数之差。利用上篇关于单调函数的不等式（13），不难证明有不等式（11）成立，左式中的导数和积分现在还不能轻易抵消，除非\(f(x)\)是连续函数。而之前我们已知，对任意\(\varepsilon>0\)都存在连续函数\(\varphi(x)\)使得\(\int_a^x |f-\varphi|\,\mathrm{d}t<\varepsilon\)。使用\(\varphi(x)\)作为桥梁，并结合式（11）可以证得不等式（12），取\(\varepsilon\to 0\)就得到等式（13）。这就回答了第一个问题：L可积函数的积分函数的导函数与自身几乎处处相等。

\[\int_a^b\left|\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\right|\,\mathrm{d}x\leqslant\int_a^b|f(x)|\,\mathrm{d}x\tag{11}\]

\[\int_a^b\left|\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t-f(x)\right|\,\mathrm{d}x<2\varepsilon\tag{12}\]

\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \overset{m}{=}f(x)\tag{13}\]

　　其实积分函数的导数还有一个直观的意义，那就是函数在\(x\)附近的“平均值”，可以从这个角度去描述式（13）的意义。然而满足式（13）的点情况还是会很复杂，这个性质并不能方便地用于其它推导。现在来介绍一种性质更强的点，而且对可积函数也是几乎处处成立。记\([a,b]\)上的Lebesgue可积函数\(f(x)\)，如果对点\(x_0\)有式（14）的极限成立（\(h_1,h_2\geqslant 0,h=h_1+h_2\)），则称\(x_0\)为\(f(x)\)的Lebesgue点。不难证明，Lebesgue点一定满足式（13）；另外由测度积分的定义，可知Lebesgue点又比连续点的条件稍弱。

\[\underset{h\to 0}{\lim}\;\dfrac{1}{h}\int_{x_0-h_2}^{x_0+h_1}|f(x)-f(x_0)|\mathrm\,{d}x=0\tag{14}\]

　　为了从满足式（13）的点中剔除非Lebesgue点，要能体会到后者比前者强的特征在于其“近似连续性”。式（13）仅表示\(x_0\)附近以零线\(y=0\)为准的均值是\(f(x_0)\)，而“近似连续点”\(x_0\)应当在任何“零线”上的均值都是\(f(x_0)\)，包括\(y=f(x_0)\)。我们取遍所有有理数作为零线\(y=r\)，而记全体满足式（15）的点为\(E_r\)。由于\(|f(x)-r|\)是Lebesgue可积函数，由式（13）的结论知\(m(E_r)=b-a\)；记\(E=\underset{r}{\bigcap} E_r\)，易知也有\(m(E)=b-a\)。注意看\(E\)中的点\(x_0\)，假定\(f(x_0)\)可以被有理数列\(\{r_n\}\)逼近；由于所有\(|f(x)-r_n|\)在\(x_0\)上都满足式（15），取\(n\to\infty\)便能证明式（14）成立，即\(E\)中的点都是Lebesgue点。

\[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x |f(t)-r|\,\mathrm{d}t=|f(x)-r|\tag{15}\]

2.2 全连续函数

　　现在再来看第二个问题，它也是牛顿-莱布尼兹定理的本体问题，即什么样的函数满足式（16）。积分式本身显然要求\(F(x)\)连续且有界变差，但上篇的式（14）告诉我们，连续有界变差函数可能不满足式（16）。因此等式的充分性还需要一个更强的条件，而这个条件可以继续从必要性里挖掘。不要忘了Lebesgue积分还有全连续性，我们取它在实数域的特殊情况（后面会看到用意），即\([a,b]\)上任意有限或可列个不相交区间组成的点集\(E_\delta\)（式（17））。全连续性是说，对任意\(\varepsilon>0\)都存在\(\delta>0\)，使得\(F'(x)\)在所有\(E_\delta\)上的积分都小于\(\varepsilon\)。

\[F(x)-F(a)=\int_a^xF'(t)\,\mathrm{d}t\tag{16}\]

\[E_\delta=\bigcup_n(a_n,b_n),\;m(E_\delta)<\delta\tag{17}\]

　　把这个结论换成对\(F(x)\)的描述，则是\(F(x)\)在所有\(E_\delta\)上满足式（18）。我们先单独研究这个必要条件的性质，为此将满足式（18）的函数\(F(x)\)称为全连续函数。不难证明（请自行证明），满足Lipschitz条件的函数是全连续函数；还有全连续函数是连续的；以及全连续函数的线性组合、乘积仍然是全连续函数。将\([a,b]\)分割为\(M>\dfrac{b-a}{\delta}\)等分，全连续性说明\(\underset{a}{\overset{x}{\bigvee}}(F)<M\varepsilon\)，即\(F(x)\)是有界变差函数。我们看到，全连续函数其实包含了连续和有界变差，由此可以直接将其看作式（16）的必要条件。以下来证明它也是充分条件。

\[\sum_n|F(b_n)-F(a_n)|<\varepsilon\tag{18}\]

　　充分性其实是说，\(F(x)-F(a)\)不含有\(G(x)=\int_a^xF'(t)\,\mathrm{d}t\)之外的部分，这就引导我们去证明另一个更简洁的命题：如果\([a,b]\)上的全连续函数\(F(x)\)满足\(F'(x)\overset{m}{=}0\)，则\(F(x)\)为常数。为了把\(F'(x)\ne 0\)的部分分开处理，可以用式（17）的开集\(E_\delta\)将其包含，在其上有式（18）成立。另外\(E_0=[a,b]-E_\delta\)上总有\(F'(x)=0\)，由导数的定义知，对任意\(x_0\in E_0\)存在区间\((x_0-h,x_0+h)\)，其上总有式（19）成立。显然\(E_\delta\)和所有\((x_0-h,x_0+h)\)覆盖了整个\([a,b]\)，由Borel覆盖定理可选出一个有限覆盖。然后利用有限覆盖中的点\(\{a_i,b_i,x_{0k}\}\)，可生成一个\([a,b]\)上的分点组。以这个分组点为连线，并结合式（18）（19）可估算出\(|F(b)-F(a)|<(b-a+1)\varepsilon\)，取\(\varepsilon\to 0\)即有\(F(b)=F(a)\)。这就证得了\(F(x)\)为常数，往回追溯，也就是说全连续函数是式（16）成立的充要条件。

\[\left|\dfrac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}\right|<\varepsilon\tag{19}\]

　　此前，我们已经把\([a,b]\)上的有界变差函数\(g(x)\)拆分为跳跃函数\(\varphi(x)\)加连续有界变差函数\(g_0(x)\)。刚才的结论则是说，\(g_0(x)\)还可以拆分为全连续函数\(g_c(x)=\int_a^xg'_0(t)\,\mathrm{d}t\)和奇异的连续有界变差函数\(g_s(x)\)。而且容易证明，式（20）的拆分在相差一个常数外是唯一的，它被称为Lebesgue分解定理。

\[g(x)=g_c(x)+g_s(x)+\varphi(x)\tag{20}\]