好风凭借力，送我上青云保研之路终于结束，漫长的痛苦，短暂的喜悦，无尽的内耗，终是留在了过去。回想从高考报志愿，坚定地只选数学专业，并且幸运的录取到了山大数学。一进大学，只觉得周围的人都比我厉害，大一数论课的习题几乎毫无思路，从未学过数学竞赛的我只觉得无比艰难，但是周围的同学都可

文章目录说明点集与测度可数集定义性质示例与有限集的关系应用可列集定义种类不可列集性质应用与意义有限集性质示例与无限集的区别应用可数集（Countableset）和可列集（Countablyinfiniteset或Enumerableset）可数集可列集等同性注意事项开集的极限点集定义与解释开

1.有界变差函数1.1有界变差函数及性质我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有限函数，并

本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。1.变数变换和L-S测度1.1变数变换我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射\(\varphi:\,X_1\toX_2\)，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定\(\varphi\)建立在两

上篇在\(\sigma\)-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集\(\mathbf{L},\mathbf{L^g},\mathbf{B}\)。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。\(\sigma\)-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要级数运算的场合，这也将

1.有限有界积分1.1积分及存在性有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设\(E\)是某测度空间的有限可测集（\(\mu(E)<\infty\)），\(f(x)\)是\(E\)上的有界

1.积分的极限积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极

【本系列目录】   01- 更合理的积分   02- 测度论基础   03-可测函数   04-基于测度的积分   05-积分极限和乘积测度   06- 导数与单调函数   07- 微积分基本定理  08-广义测度和积分  博客总目录 1.源起

1.测度和\(\sigma\)-环在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间