实变函数精解【33】

文章目录

• 可测函数
• • 可测函数列的收敛性
  • • 1. **点态收敛与可测性**
    • 2. **一致收敛与可测性**
    • 3. **Lebesgue收敛定理（Lebesgue Dominated Convergence Theorem）**
    • • Lebesgue Dominated Convergence Theorem的陈述：
    • 4. **Fatou引理**
    • 总结：
  • 简单函数列
  • • 1. **简单函数的定义**
    • 2. **简单函数列的定义**
    • 3. **简单函数列的收敛性**
    • • 点态收敛：
      • 一致收敛：
    • 4. **简单函数列的应用**
    • 5. **简单函数列的收敛定理**
    • 总结
    • 1. **简单函数的定义**
    • 2. **简单函数列的定义**
    • 3. **简单函数列的收敛性**
    • • 点态收敛：
      • 一致收敛：
    • 4. **简单函数列的应用**
    • 5. **简单函数列的收敛定理**
    • 总结
  • Luzin定理
  • • **Luzin定理的内容：**
    • **定理表述：**
    • **Luzin定理的应用：**
    • **定理的简要推导与直觉解释：**
    • **Luzin定理的历史与背景：**
    • **总结：**
  • 实函数可测的充要条件
  • • **实函数可测的充要条件**
    • **形式化的定义：**
    • **充要条件的解释：**
    • **应用实例：**
    • **实际意义：**
    • **总结：**
• Lebesgue积分
• • **Lebesgue积分**
  • • **Lebesgue积分的基本思想**
    • **Lebesgue积分的定义**
    • • 1. **简单函数的Lebesgue积分**
      • 2. **一般可测函数的Lebesgue积分**
    • **Lebesgue积分的主要性质**
    • **Lebesgue积分与Riemann积分的比较**
    • **总结**
  • Lebesgue积分记号
  • • **Lebesgue积分记号的含义**
    • **Lebesgue积分记号的解释**
    • **Lebesgue积分的具体形式**
    • **Lebesgue积分的几个常见符号和用法**
    • **Lebesgue积分的几种重要性质**
    • **总结**
  • Lebesgue积分的初等性质
  • • 1. **线性性**
    • 2. **单调性**
    • 3. **非负性**
    • 4. **交换极限与积分：Lebesgue主导收敛定理**
    • 5. **Fatou引理**
    • 6. **单调收敛定理**
    • 7. **对称性（奇偶性）**
    • 8. **可加性（分割积分）**
    • 9. **Lebesgue积分的保号性**
    • 10. **非负加法性**
    • 总结
  • 在Lebesgue积分中，**绝对连续性**（absolute continuity）
  • • **绝对连续性的定义**
    • **解释**
    • **绝对连续性与其他连续性概念的关系**
    • **绝对连续函数的性质**
    • **绝对连续性与Lebesgue积分的关系**
    • **Lebesgue的微分定理（Lebesgue Differentiation Theorem）**
    • **总结**
  • **Lebesgue积分的收敛定理**
  • • 1. **单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）**
    • • 定理内容：
      • 解释：
    • 2. **Lebesgue主导收敛定理（Dominated Convergence Theorem）**
    • • 定理内容：
      • 解释：
    • 3. **Fatou引理（Fatou's Lemma）**
    • • 定理内容：
      • 解释：
    • 4. **收敛定理的关系和应用**
    • • (a) **单调收敛定理与Lebesgue主导收敛定理的关系**：
      • (b) **应用场景**：
    • 5. **总结**
  • Lebesgue积分的控制收敛定理和有收敛定理
  • • 1. **Lebesgue主导收敛定理（Dominated Convergence Theorem, DCT）**
    • • 定理内容：
      • 解释：
      • 应用：
    • 2. **Lebesgue收敛定理（有收敛定理）**
    • • 定理内容：
      • 解释：
      • 应用：
    • 3. **比较：主导收敛定理与有收敛定理**
    • 4. **Lebesgue收敛定理的延伸**
    • 5. **Fatou引理（Fatou's Lemma）**
    • 6. **总结**
  • Lebesgue积分与riemann积分的联系
  • • 1. **Riemann积分与Lebesgue积分的基本区别**
    • 2. **Riemann积分的定义**（在区间 [a, b] 上）
    • 3. **Lebesgue积分的定义**
    • 4. **两者的联系和比较**
    • • (1) **适用范围**
      • (2) **对间断点的处理**
      • (3) **换序性**
      • (4) **计算方法的差异**
      • (5) **在理论上的联系**
    • 5. **总结**
  • Fubini定理
  • • 1. **Fubini定理的内容**
    • 2. **Fubini定理的形式**
    • 3. **定理的应用与解释**
    • 4. **Fubini定理的证明的简要思路**
    • • Tonelli定理
      • 证明大致步骤：
    • 5. **Fubini定理的应用实例**
    • • 例子 1：计算双重积分
      • 例子 2：计算期望值
    • 6. **总结**
• 参考文献

可测函数

可测函数列的收敛性

主要涉及到点态收敛、一致收敛、以及与Lebesgue积分相关的收敛性定理。下面是一些常见的收敛性定理和概念：

1. 点态收敛与可测性

假设 { f n } \{ f_n \} {