成立条件
\(\displaystyle \sum_{k}{\binom{n}{k}\binom{s}{k}k},n\in \mathbb{N}\)
有点像 LINK 的 \(1.\) 式。
\(\displaystyle \mathrm{Lemma1}: \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},n\in \mathbb{N}\)
\[\begin{aligned} \mathrm{LHS}&=\sum_{k}{\binom{n}{k}\binom{s-1}{k-1}s}\\ &=s\sum_{k}{\binom{n}{n-k}}{\binom{s-1}{k-1}}\\ &=s\binom{n+s-1}{n-1} \end{aligned} \]式子推导很简单，可以说是易如反掌，但是为什么吸收系数 \(k\) 的是 \(\displaystyle \binom{s}{k}\)，而非 \(\displaystyle \binom{n}{k}\) 呢？
关注式子的推导过程：运用了 \(\mathrm{Lemma1}\)，而 \(\mathrm{Lemma1}\) 仅在 \(n\in \mathbb{N^+}\) 的时候成立。
若用 \(\displaystyle \binom{n}{k}\) 吸收系数 \(k\) ，那么就涉及到了 \(n-1\) 的正负问题，然而 \(n-1\) 不一定是正的。
如上启发我们要关注式子推导过程中所运用恒等式的成立条件，同时可以发现，没有任何条件限制的组合恒等式是最有用的（整数意义下）。
如下列出了一些常用恒等式的成立条件：
\[\left\{ \begin{aligned} &\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{Z}\\ &\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}\frac{n}{k}, k\in \mathbb{Z}, k\neq 0\\ &\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}, k\in \mathbb{Z}\\ &\binom{n}{k}=(-1)^k\binom{k-n-1}{k}, k\in \mathbb{Z}\\ &\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k},k,m\in \mathbb{Z}\\ &\sum_{k}{\binom{n}{k}x^ky^{n-k}}=(x+y)^n, n\ge 0~or\mid\frac{x}{y}\mid<1\\ &\sum_{k\le n}{\binom{m+k}{k}}=\binom{n+m+1}{m+1}, n\in \mathbb{N}\\ &\sum_{k\le n}{\binom{m}{k}}=\binom{m+1}{n+1}, m,n\in \mathbb{N}\\ &\sum_{k}{\binom{r}{k}\binom{s}{n-k}}=\binom{r+s}{n}, n\in\mathbb{Z} \end{aligned} \right. \]如上十个组合恒等式经常会用到，记住它们的成立条件是有意义的。
休对故人思故国，且将新火试新茶，诗酒趁年华。
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