首页 > 其他分享 >线性部分:古典解1:极值定理及其应用

线性部分:古典解1:极值定理及其应用

时间:2023-04-06 18:11:38浏览次数:35  
标签:right partial 定理 alpha 线性 frac Omega 极值 lambda

线性部分:古典解1-极值定理及其应用

目录

1.定义

对于二阶的线性偏微分算子,一般有以下两种形式:散度型形式(divergence)

\[\boxed{L u=-\sum_{i, j=1}^n\left(a^{i j}(\boldsymbol{x}) u_{x_i}\right)_{x_j}+\sum_{i=1}^n b^i(\boldsymbol{x}) u_{x_i}+c(\boldsymbol{x}) u} \]

和非散度型:

\[\boxed{L u=-\sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) u_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n b^i(\boldsymbol{x}) u_{x_i}+c(\boldsymbol{x}) u} \]

这两种形式各有各的特点,其中散度型利于分部积分,非散度型利用证明古典解的极值原理.

在这里研究\(\Omega\)是\(\mathbb{R}^n\)中有界开集的情况.

在研究

\[Lu=f \]

这类方程时,我们一般会要求系数满足如下条件:

\[a^{ij},b_i,c\in L^{\infty}(\Omega) \]

以及经常出现的如下条件:

[椭圆] :如果存在一个常数\(\theta>0\)使得:

\[\sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) \xi_i \xi_j \geqslant \theta|\boldsymbol{\xi}|^2 \text { a.e. } \boldsymbol{x} \in \Omega,\forall \xi \in \mathbb{R}^n \]

那么我们称偏微分算子\(L\)是\(\color{red}{严格椭圆}\)如果存在\(\lambda>0,\Lambda\ge 0\)使的:

\[\Lambda|\boldsymbol{\xi}|^2\ge \sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) \xi_i \xi_j \geqslant \lambda|\boldsymbol{\xi}|^2 \text { a.e. } \boldsymbol{x} \in \Omega,\forall \xi \in \mathbb{R}^n \]

则称\(L\)是一致椭圆的.

类似我们学习的三大方程一样,我们也研究椭圆型算子的初边值问题:

\[Dirichelet : \begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ u=g,x\in \partial \Omega \end{cases} \]

\[Nuemann: \begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ \dfrac{\partial u}{\partial n}=g,x\in \partial \Omega \end{cases} \]

\[Robin: \begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ a(x)\dfrac{\partial u}{\partial n}+b(x)u=g,x\in \partial \Omega,a(x)=1,b(x)\ge 0 \end{cases} \]

2.古典解的极值原理

下边我们证明非散度型算子的极值原理.

\[L u=-\sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) u_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n b^i u_{x_i}+c(\boldsymbol{x}) u \]

同时约定\(a^{ij},b^i,c\)是连续的.满足一致椭圆条件.

弱极值原理

[\(c=0\)的弱极值原理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \equiv 0\).

(1) 如果 \(L u \leqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\max\limits_{\bar{\Omega}} u=\max\limits _{\partial \Omega} u\);

(2) 如果 \(L u \geqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\min\limits _{\bar{\Omega}} u=\min\limits _{\partial \Omega} u\).

证明:\(\color{blue}{第一步}\).先考虑\(Lu < 0\)的情况,我们假设存在\(x_0\in \Omega\),使得其达到\(\bar{\Omega}\)上的最大值.断言\(x\in \partial \Omega\).不妨设\(x_0\)位于内点,因此根据古典的极值理论,我们知道\(Du(x_0)=0\).因此我们只需要对:

\[-\sum_{i,j=1}^{n}a^{ij}u_{x_i}u_{x_j} \]

进行判断即可.我们知道Hessi矩阵\(D^2u(x_0)\le 0\).由于\(A\)是正定的,因此对于\(x_0\)点,存在正交矩阵\(O\)使得:

\[OAO'=diag(d_1,\cdots,d_n),d_i>0 \]

我们记:\(y=x+O(x-x_0)\),因此:

\[u_{x_i}=\sum_{k=1}^n u_{y_k} o_{k_i}, \quad u_{x_i x_j}=\sum_{k, l=1}^n u_{y_k y_l} o_{k i} o_{l j}, \quad i, j=1, \cdots, n \]

直接计算:

\[\sum_{i, j=1}^n a^{i j}\left(\boldsymbol{x}_0\right) u_{x_i x_j}=\sum_{k, l=1}^n \sum_{i, j=1}^n a^{i j}\left(\boldsymbol{x}_0\right) u_{y_k y_l} o_{k_i} o_{l_j}=\sum_{k=1}^n d_k u_{y_k y_k} \]

又因为同时有\(x=x_0+O'(y-x_0)\),因此:

\[u_{y_i}=\sum_{k=1}^n u_{x_k} o_{i k}, \quad u_{y_i y_j}=\sum_{k, l=1}^n o_{i k} u_{x_k x_l} o_{j l}, \quad i, j=1, \cdots, n \]

综上:

\[u_{y_k y_k}=\sum_{i, j=1}^n o_{k i} u_{x_i x_j} o_{j_k}=\left(o_{k_1}, \cdots, o_{k_n}\right)\left(\mathbf{D}^2 u\right)_{i, j}\left(o_{k_1}, \cdots, o_{k_n}\right)^{\mathrm{T}} \leqslant 0, \quad k=1, \cdots, n \text {. } \]

因此\(Lu\ge 0\).这与\(Lu<0\)是矛盾的.因此断言成立,\(x\in \partial \Omega\).

\(\color{blue}{第二步:}\)我们讨论\(Lu\le 0\)的情况,我们对\(\varepsilon\)进行扰动,记:

\[u^{\varepsilon}=u(x)+\varepsilon e^{\lambda x} \]

我们计算\(u^{\varepsilon}\)的\(Lu\).直接计算有:

\[L u^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})=L u(\boldsymbol{x})+\varepsilon L\left(\mathrm{e}^{\lambda x_1}\right) \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 a^{11}+\lambda b^1\right] \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 \theta+\lambda\|b\|_{L^{\infty}}\right]<0, \]

取\(\lambda\)充分大,那么上边的式子就可以小于0,因此根据第一步我们知道:

\[\max _{\bar{\Omega}} u^{\varepsilon}=\max _{\partial \Omega} u^{\varepsilon} \]

同时我们有:

\[u+\varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1} \leqslant \max _{\bar{\Omega}} u^{\varepsilon}=\max _{\partial \Omega} u^{\varepsilon} \leqslant \max _{\partial \Omega} u+\varepsilon \max _{\partial \Omega} \mathrm{e}^{\lambda x_1}, \quad x \in \Omega . \]

令\(\varepsilon\to 0\)我们就可以得到结论.

\(\color{blue}{第三步:}\)对于(2)的情况,只需要将\(u\)换为\(-u\)然后利用(1)的结论就行了.

下边我们讨论\(c(x)\ge 0\)的弱极值原理,同时我们记\(u^+=\max\{u,0\},u^-=\min\{u,0\}\).

[\(c\ge 0\)的弱极值原理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \ge 0\).

(1) 如果 \(L u \leqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\max\limits _{\bar{\Omega}} u\le \max\limits _{\partial \Omega} u^+\);

(2) 如果 \(L u \geqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\min\limits _{\bar{\Omega}} u\ge \min\limits _{\partial \Omega} u^-\).

证明:仅对(1)进行证明.

第一步: 同样还是先证\(Lu<0\)的情况,我们设\(M=\max_{\bar{\Omega}}u\).如果\(M=0\)那么结论显然,因此我们证明\(M>0\)的情况.假设不然,那么必然在内点取得非负极大值,同上我们有:

\[Lu\ge 0 \]

因此矛盾.

第二步: 对\(Lu\le 0\),我们还是对\(u\)作扰动,令

\[u^{\varepsilon}=u(x)+\varepsilon e^{\lambda x} \]

同理计算\(Lu^{\varepsilon}\),取\(\lambda\)充分大,我们有:

\[\begin{aligned} L u^{\varepsilon}(\boldsymbol{x}) &=L u(\boldsymbol{x})+\varepsilon L\left(e^{\lambda x_1}\right) \\ & \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 a^{11}+\lambda b^1+c(\boldsymbol{x})\right] \\ & \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 \theta+\lambda\|b\|_{L_{\infty}}+\|c\|_{L_{\infty}}\right]<0 . \end{aligned} \]

按\(c=0\)的弱极值原理分析,我们就知道结论是成立的.

注意判断\(a^{11}>\theta\)

强最大值定理.

现在我们建立强最大值原理,同样的我们需要引入Hofp引理.

[Hofp引理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \equiv 0\).且:

\[Lu\le 0,x\in \Omega \]

若存在一个点\(x_0\in \partial \Omega\),使得:

\[u(x_0)>u(x),\forall x\in \Omega \]

以及\(\Omega\)满足内部球条件,那么:

(i):

\[\frac{\partial u}{\partial \nu}|_{x_0}>0 \]

(ii)如果\(c\ge 0\),且有\(u(x_0)\ge 0\).则(i)的结论同样成立.

证明:考虑\(c\ge 0\),不妨假设\(U=B(0,r)\),证明想法是类似的,引入一个\(v(x)\),使得:\(f(x)=u(x)+\varepsilon v(x)\)在\(|x|=r\)上达到最大值,此时必然有

\[\frac{\partial f}{\partial \nu}\ge 0 \]

进而得到

\[\frac{\partial u}{\partial \nu}|_{x_0}>0 \]

下边开始详细的证明,取

\[v(x):=e^{-\lambda|x|^2}-e^{-\lambda r^2} \]

直接计算\(Lv\),就可以得到:

\[\begin{aligned} L v=&-\sum_{i, j=1}^n a^{i j} v_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n b^i v_{x_i}+c v \\ =& e^{-\lambda|x|^2} \sum_{i, j=1}^n a^{i j}\left(-4 \lambda^2 x_i x_j+2 \lambda \delta_{i j}\right) \\ & \quad-e^{-\lambda|x|^2} \sum_{i=1}^n b^i 2 \lambda x_i+c\left(e^{-\lambda|x|^2}-e^{-\lambda r^2}\right) \\ \leq & e^{-\lambda|x|^2}\left(-4 \theta \lambda^2|x|^2+2 \lambda \operatorname{tr} \mathbf{A}+2 \lambda|\mathbf{b} \| x|+c\right) \end{aligned} \]

其中\(A=(a^{ij}),B=(b^i)\),我们取\(R=B(0,r)-B(0,r/2)\),因此当\(\lambda\)取得充分大时就有\(Lv\le 0\).

现在令\(f(x)=f(x)=u(x)+\varepsilon v(x)-u(x_0)\),可以看出\(Lf\le 0\),由于连续性因此因此\(u\)在\(|x|=r/2\)有最大值根据\(u(x_0)>u(x)\)可知,取\(\varepsilon\)充分小,那么\(f\)在\(|x|=r/2\)上小于0,而在\(|x|=r\)上显然大于等于\(u(x_0)\),根据数学分析的知识我们知道:

\[\frac{\partial f}{\partial \nu}=\frac{\partial u}{\partial \nu}+\varepsilon \frac{\partial v}{\partial \nu} \ge 0 \]

因此:

\[\frac{\partial u}{\partial \nu}\ge -\varepsilon\frac{\partial v}{\partial \nu}>0 \]

故命题得证.

利用Hofp引理我们证明强极大值定理.

[\(c=0\)的强极大值定理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \equiv 0\).且\(\Omega\)是有界连通集,则有:

(1) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \leqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点取到 \(\bar{\Omega}\) 上的最大值, 则在 \(\Omega\) 内 \(u \equiv\) 常数;

(2) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \geqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点取到 \(\bar{\Omega}\) 上的最小值, 则在 \(\Omega\) 内 \(u \equiv\) 常数.

我们记\(M=\max_{\bar{\Omega}}\),并且记\(C:=\{x\in \Omega|u(x)=M\}\),由连续性我们知道\(C\)是闭集,现在我们证明他还是开集.现在记:

\[V=\{x\in \Omega|u(x) < M\} \]

因此\(\Omega=C\cup V\).\(V\)是开集,现在取\(y\in V\),使得\(dist(y,C) < dist(y,\partial \Omega)\),作以\(y\)球球心的内点位于\(V\)的最大球\(B\),因此存在\(x_0\in C\)使得\(x_0\in \partial B\),满足内部球条件,且满足Hofp引理条件,但是\(x_0\)是内点,因此\(Du=0\),但是根据Hofp引理\(\frac{\partial u}{\partial \nu} > 0\),因此矛盾,所以\(V=\varnothing\),所以\(\Omega=C\),即\(u\equiv M\).命题得证.

[\(c\ge 0\)的强极大值定理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\), 在 \(\Omega\) 内 \(c \geqslant 0\), \(\Omega\) 是有界的连通开集.

(1) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \leqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点达到 \(u\) 在 \(\bar{\Omega}\) 上的非负最大值, 则 \(u \equiv M\);

(2) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \geqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点达到 \(u\) 在 \(\bar{\Omega}\) 上的非正最小值, 则 \(u \equiv M\).

应用\(c\ge 0\)的Hofp引理即可.

3.先验估计:Drichlet边值条件

本节我们建立古典解的先验估计.

仍然设\(\Omega\)是\(\mathbb{R}^n\)中的有界区域,以及非散度型椭圆偏微分算子:

\[Lu=a_{ij}(x)D_{ij}u+b(x)D_iu+c(x)u \]

其中\(a_{ij},b_i,c\in C(\bar{\Omega})\),且:

\[a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge \lambda |\xi|^2,x\in \Omega,\xi \in \mathbb{R}^n \]

以及:

\[\max_{\Omega}|a_{ij}|+\max_{\Omega}|b_i|\le \Lambda \]

[先验估计1] :设\(u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar{\Omega})\)是方程:

\[\begin{cases}L u=f & \text { in } \Omega \\ u=\varphi & \text { on } \partial \Omega\end{cases} \]

的古典解,其中\(f\in C(\bar{\Omega}),\varphi\in C(\partial \Omega)\)如果\(c\le 0\),则:

\[|u(x)| \leq \max _{\partial \Omega}|\varphi|+C(\lambda,\Lambda,\mathrm{diam}\Omega) \max _{\Omega}|f| \]

证明: 现在我们想要利用最大值原理来证明该定理,我们的想法是找到一个函数\(w\),使得:

\[\begin{cases} L(w\pm u)=Lw\pm f\le 0,x\in \Omega\\ w\pm u\ge 0,x\in \partial\Omega \end{cases} \]

如此一来我们就可以利用最大值原理,得到\(w+u\)的最大值,我们相信如果对\(w\)取特别的值,就可以得到上述的先验估计.令\(F=\max_{ \Omega}|f|,\Phi=\max_{\partial \Omega}|\varphi|\),为了能够让上述的构造更加方便,我们直接令:

\[\begin{cases} Lw\le -F,x\in \Omega\\ w\ge \Phi,x\in \partial\Omega \end{cases} \]

由于\(\Omega\)是有界的,因此我们不妨设\(\Omega\subset \{0 < x_1 < d\}\)中,令\(w=\Phi=\left(e^{\alpha d}-e^{\alpha x_1}\right)F,\alpha\)待定.直接计算:

\[\begin{aligned} -L w & =\left(a_{11} \alpha^2+b_1 \alpha\right) F e^{\alpha x_1}-c \Phi-c\left(e^{\alpha d}-e^{\alpha x_1}\right) F \\ & \geq\left(a_{11} \alpha^2+b_1 \alpha\right) F \geq\left(\alpha^2 \lambda+b_1 \alpha\right) F \geq F \end{aligned} \]

注意到\(\alpha^2\lambda+b_1\alpha\)是关于\(\alpha\)的二次方程,因此\(\alpha\)充分大时就可以使得其大于1.

故这里的\(w\)满足我们想要的构造.利用最大值原理我们就知道:

\[-w\le u\le w \]

因此:

\[\sup_{\Omega}\le \Phi+(e^{\alpha d}-1)F \]

于是定理得证.

4.先验估计:Robin和Nueman边值条件

下边考虑Robin和Nueman边值问题的先验估计.

[先验估计2] :设\(u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\bar{\Omega})\)是方程:

\[\begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}+\alpha(x)u=\varphi,x\in \partial\Omega \end{cases} \]

其中\(\boldsymbol{n}\)是\(\partial\Omega\)的单位外法方向.如果\(c(x)\le 0x\in \Omega,\alpha(x)\ge \alpha_0>0,x\in \partial\Omega\),则:

\[|u(x)| \leq C(\lambda,\Lambda,\alpha_0,\mathrm{diam}\Omega)\left\{\max _{\partial \Omega}|\varphi|+\max _{\Omega}|f|\right\},x\in \Omega \]

证明: Case1:我们先考虑\(c(x)\le -c_0<0\)的情形.我们证明:

\[|u(x)| \leq \frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi \]

证明想法是类似的,构造\(v\)使得其和满足Hofp最大值定理的条件.令\(v=\frac{1}{c_0}F+\frac{1}{\alpha_0}\Phi\pm u\).则我们有:

\[\begin{aligned} L v & =c(x)\left(\frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi\right) \pm f \leq-F \pm f \leq 0 &x\in \Omega, \\ \frac{\partial v}{\partial n}+\alpha v & =\alpha\left(\frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi\right) \pm \varphi \geq \Phi \pm \varphi \geq 0 & x\in \partial \Omega . \end{aligned} \]

如果\(v\)在\(\bar{\Omega}\)中负的最小值,则其在边界上可达,根据Hofp极值定理,我们知道存在\(x_0\)使得\(\frac{\partial v}{\partial n}(x_0)\le 0\),这意味着:

\[\left(\frac{\partial v}{\partial n}+\alpha v\right)\left(x_0\right) \leq \alpha v\left(x_0\right)<0 \]

矛盾.因此\(v\ge 0,x\in \Omega\).故我们得到了:

\[|u(x)| \leq \frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi \]

Case2:考虑一般的情况,\(c\le 0\).我们考虑辅助函数\(u(x)=z(x)w(x)\),其中\(z\)是一个正的待定的函数,我们直接计算\(Lu\).就得到了:

\[\begin{aligned} a_{i j} D_{i j} w+B_i D_i w+\left(c+\frac{a_{i j} D_{i j} z+b_i D_i z}{z}\right) w & =\frac{f}{z} \\ \frac{\partial w}{\partial n}+\left(\alpha+\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial n}\right) w & =\frac{\varphi}{z} \end{aligned} \]

其中\(B_i=\frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})D_jz+b_i\),现在我们希望\(z>0,x\in \bar{\Omega}\),使得:

\[\begin{aligned} & c+\frac{a_{i j} D_{i j} z+b_i D_i z}{z} \leq-c_0\left(\lambda, \Lambda, d, \alpha_0\right)<0 \\ & \alpha+\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial n} \geq \frac{1}{2} \alpha_0 \end{aligned} \]

如此一来我们就可以利用\(c(x)<-c_0\)的情况.为此我们仍然设\(\Omega\subset \{0<x_1<d\}\),并令\(z(x)=A+e^{\beta d}-e^{\beta x_1}\)其中\(A,\beta>0\)待定.计算可得:

\[\begin{aligned} -\frac{1}{z}\left(a_{i j} D_{i j} z+b_i D_i z\right) & =\frac{\left(\beta^2 a_{11}+\beta b_1\right) e^{\beta x_1}}{A+e^{\beta d}-e^{\beta x_1}} \\ & \geq \frac{\beta^2 a_{11}+\beta b_1}{A+e^{\beta d}} \geq \frac{1}{A+e^{\beta d}}>0 \end{aligned} \]

这里我们选择\(\beta\)充分大使得\(\beta^2a_{11}+\beta b_1\ge 1\),则我们有:

\[\left|\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial n}\right| \leq \frac{\beta}{A} e^{\beta d} \leq \frac{1}{2} \alpha_0 \]

这里我们选择\(A\)充分大使得上式成立.

然后利用\(c(x)\le -c_0\)的情况即可得证.、

参考文献

  1. 韩青, 林芳华. Elliptic Partial Differential Equations[M]. AMS, 2011
  2. Evans. Partial differential equations[M]. 2010.
  3. 王术. Sobolev 空间和偏微分方程引论 [M]. 科学出版社, 2009

标签:right,partial,定理,alpha,线性,frac,Omega,极值,lambda
From: https://www.cnblogs.com/mathzhou/p/17293579.html

相关文章

  • 非线性优化理论(求极小值)
    梯度下降法迭代条件:    梯度下降法的缺点:初值的确定影响着迭代的快慢。步长过小可能要好多步才能到达极小值步长过大或则算法多次迭代后,可能导致在两个值之间反复振荡,收敛速度较慢可以迭代的前期使用梯度下降法       牛顿法迭代条件  ......
  • 【数学】线性代数
    0x01行列式的计算某行(列)加上或减去另一行(列)的几倍,行列式不变。行(列)乘k,等于k乘此行列式。互换两行(列),行列式变号。0x02计算的题型和套路只有两个数字,对角线是一个:套公式两行(列)相同或成比例时,行列式为0。以及某行(列)为两项相加减时,行列式可拆成两个行列式相加减。......
  • Hive 如何巧用分布函数percent_rank()剔除极值求均值
    场景描述前期写过一篇关于剔除订单极值求订单均值的案例,之前使用的是 dense_rank 函数对订单金额进行排序后,过滤掉最大值最小值后进行处理,最近工作刚好使用到分布函数percent_rank,想起来应该也可以用到这个场景;percent_rank()简介percent_rank()函数为分布函数,用于返回某个......
  • WT5100无电感线性降压220V降5V或3.3V50mA
       WT5100是一款交流转直流无电感输出离线式线性稳压ic。通过调整SEL引脚阻值,WT5100输出电压可调5V/3.3V/3V输出电压、内置集成了650V功率MOSFET.启动控制电路,VDD电压控制电路AC交流信号同步检测电路,低压差稳压器等。该芯片通过智能控制交流能量输入以减小系统损耗,提高系统......
  • 深度学习——用简单的线性模型构建识别鸟与飞机模型
    本文仅为深度学习的入门学习,故采用线性模型而非CNN处理图像数据集。一、准备工作1.下载CIFAR-10数据集这是一个\(32\times32\)像素的RGB图像集合,用于学习使用。fromtorchvisionimportdatasetsdata_path="./data/"cifar10=datasets.CIFAR10(root=data_path,train=......
  • 时间戳线性基
    当我们需要维护和向量空间或者异或和有关的东西,可能会用到线性基:提出问题【模板】线性基题意:给一个长为\(n\)的序列,问从中任取若干个数,最大的异或和为多少。这个问题可以直接使用线性基维护,但是我们考虑将这个问题进行加强:CF1100FIvanandBurgers题意:给一个长为\(n\)......
  • DC-DC直流线性可调升压模块高压稳压输出电源5v12v24v48v转0-300V0-500V/0-600V/0-1000
    GRB系列非隔离宽电压输入高电压稳压输出特点 效率高达75%以上 1*2英寸标准封装 单电压输出 可直接焊在PCB上 工作温度:-40℃~+75℃ 阻燃封装,满足UL94-V0要求 温度特性好 电压控制输出,输出电压随控制电压的变化线应用GRB系列模块电源是一种DC-DC升压变换器。该模块电......
  • hdu3980 Paint Chain SG函数+SG定理+记忆化搜索
    liyishui今天学习博弈,因为liyishui今天写树链剖分写得有点理智--题意:有一个圆,上面有n个豆子,每次要挑出连续m个没染色的豆子进行染色,不能移动时输掉游戏问先手必胜还是后手必胜,其中n、m<=1000题解:会很朴素地想到如果第一个人拿走了m个,那么剩下的就是一条链的问题。所以可以先......
  • 基于stm32的数控线性稳压电源,恒压恒流电源资料
    基于stm32的数控线性稳压电源,恒压恒流电源资料。极具学习和设计参考价值,资料包括源程序,原理图,pcb等设计资料本设计采用220V市电输入工频变压器,将220V交流电压降为24V交......
  • Ceres 中的线性求解器类型(linear_solver_type)
    CeresSolver中的线性求解器类型(linear_solver_type)有多个选项,包括:DENSE_QR:使用稠密QR分解方法求解线性方程组。适用于内存足够的小规模问题,求解速度较快。DENSE_SCHUR:......