线性部分:古典解1-极值定理及其应用
目录1.定义
对于二阶的线性偏微分算子，一般有以下两种形式:散度型形式(divergence)
\[\boxed{L u=-\sum_{i, j=1}^n\left(a^{i j}(\boldsymbol{x}) u_{x_i}\right)_{x_j}+\sum_{i=1}^n b^i(\boldsymbol{x}) u_{x_i}+c(\boldsymbol{x}) u} \]和非散度型:
\[\boxed{L u=-\sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) u_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n b^i(\boldsymbol{x}) u_{x_i}+c(\boldsymbol{x}) u} \]这两种形式各有各的特点,其中散度型利于分部积分,非散度型利用证明古典解的极值原理.
在这里研究\(\Omega\)是\(\mathbb{R}^n\)中有界开集的情况.
在研究
\[Lu=f \]这类方程时,我们一般会要求系数满足如下条件:
\[a^{ij},b_i,c\in L^{\infty}(\Omega) \]以及经常出现的如下条件:
[椭圆] :如果存在一个常数\(\theta>0\)使得：
\[\sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) \xi_i \xi_j \geqslant \theta|\boldsymbol{\xi}|^2 \text { a.e. } \boldsymbol{x} \in \Omega,\forall \xi \in \mathbb{R}^n \]那么我们称偏微分算子\(L\)是\(\color{red}{严格椭圆}\)如果存在\(\lambda>0,\Lambda\ge 0\)使的:
\[\Lambda|\boldsymbol{\xi}|^2\ge \sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) \xi_i \xi_j \geqslant \lambda|\boldsymbol{\xi}|^2 \text { a.e. } \boldsymbol{x} \in \Omega,\forall \xi \in \mathbb{R}^n \]则称\(L\)是一致椭圆的.
类似我们学习的三大方程一样,我们也研究椭圆型算子的初边值问题:
\[Dirichelet : \begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ u=g,x\in \partial \Omega \end{cases} \]\[Nuemann: \begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ \dfrac{\partial u}{\partial n}=g,x\in \partial \Omega \end{cases} \]\[Robin: \begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ a(x)\dfrac{\partial u}{\partial n}+b(x)u=g,x\in \partial \Omega,a(x)=1,b(x)\ge 0 \end{cases} \]2.古典解的极值原理
下边我们证明非散度型算子的极值原理.
\[L u=-\sum_{i, j=1}^n a^{i j}(\boldsymbol{x}) u_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n b^i u_{x_i}+c(\boldsymbol{x}) u \]同时约定\(a^{ij},b^i,c\)是连续的.满足一致椭圆条件.
弱极值原理
[\(c=0\)的弱极值原理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \equiv 0\).(1) 如果 \(L u \leqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\max\limits_{\bar{\Omega}} u=\max\limits _{\partial \Omega} u\);
(2) 如果 \(L u \geqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\min\limits _{\bar{\Omega}} u=\min\limits _{\partial \Omega} u\).
证明:\(\color{blue}{第一步}\).先考虑\(Lu < 0\)的情况，我们假设存在\(x_0\in \Omega\),使得其达到\(\bar{\Omega}\)上的最大值.断言\(x\in \partial \Omega\).不妨设\(x_0\)位于内点，因此根据古典的极值理论,我们知道\(Du(x_0)=0\).因此我们只需要对：
\[-\sum_{i,j=1}^{n}a^{ij}u_{x_i}u_{x_j} \]进行判断即可.我们知道Hessi矩阵\(D^2u(x_0)\le 0\).由于\(A\)是正定的，因此对于\(x_0\)点，存在正交矩阵\(O\)使得：
\[OAO'=diag(d_1,\cdots,d_n),d_i>0 \]我们记：\(y=x+O(x-x_0)\),因此:
\[u_{x_i}=\sum_{k=1}^n u_{y_k} o_{k_i}, \quad u_{x_i x_j}=\sum_{k, l=1}^n u_{y_k y_l} o_{k i} o_{l j}, \quad i, j=1, \cdots, n \]直接计算:
\[\sum_{i, j=1}^n a^{i j}\left(\boldsymbol{x}_0\right) u_{x_i x_j}=\sum_{k, l=1}^n \sum_{i, j=1}^n a^{i j}\left(\boldsymbol{x}_0\right) u_{y_k y_l} o_{k_i} o_{l_j}=\sum_{k=1}^n d_k u_{y_k y_k} \]又因为同时有\(x=x_0+O'(y-x_0)\),因此:
\[u_{y_i}=\sum_{k=1}^n u_{x_k} o_{i k}, \quad u_{y_i y_j}=\sum_{k, l=1}^n o_{i k} u_{x_k x_l} o_{j l}, \quad i, j=1, \cdots, n \]综上:
\[u_{y_k y_k}=\sum_{i, j=1}^n o_{k i} u_{x_i x_j} o_{j_k}=\left(o_{k_1}, \cdots, o_{k_n}\right)\left(\mathbf{D}^2 u\right)_{i, j}\left(o_{k_1}, \cdots, o_{k_n}\right)^{\mathrm{T}} \leqslant 0, \quad k=1, \cdots, n \text {. } \]因此\(Lu\ge 0\).这与\(Lu<0\)是矛盾的.因此断言成立,\(x\in \partial \Omega\).
\(\color{blue}{第二步:}\)我们讨论\(Lu\le 0\)的情况,我们对\(\varepsilon\)进行扰动,记:
\[u^{\varepsilon}=u(x)+\varepsilon e^{\lambda x} \]我们计算\(u^{\varepsilon}\)的\(Lu\).直接计算有:
\[L u^{\varepsilon}(\boldsymbol{x})=L u(\boldsymbol{x})+\varepsilon L\left(\mathrm{e}^{\lambda x_1}\right) \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 a^{11}+\lambda b^1\right] \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 \theta+\lambda\|b\|_{L^{\infty}}\right]<0, \]取\(\lambda\)充分大，那么上边的式子就可以小于0，因此根据第一步我们知道:
\[\max _{\bar{\Omega}} u^{\varepsilon}=\max _{\partial \Omega} u^{\varepsilon} \]同时我们有:
\[u+\varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1} \leqslant \max _{\bar{\Omega}} u^{\varepsilon}=\max _{\partial \Omega} u^{\varepsilon} \leqslant \max _{\partial \Omega} u+\varepsilon \max _{\partial \Omega} \mathrm{e}^{\lambda x_1}, \quad x \in \Omega . \]令\(\varepsilon\to 0\)我们就可以得到结论.
\(\color{blue}{第三步:}\)对于(2)的情况，只需要将\(u\)换为\(-u\)然后利用(1)的结论就行了.
下边我们讨论\(c(x)\ge 0\)的弱极值原理,同时我们记\(u^+=\max\{u,0\},u^-=\min\{u,0\}\).
[\(c\ge 0\)的弱极值原理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \ge 0\).(1) 如果 \(L u \leqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\max\limits _{\bar{\Omega}} u\le \max\limits _{\partial \Omega} u^+\);
(2) 如果 \(L u \geqslant 0\) 在 \(\Omega\) 上成立, 则 \(\min\limits _{\bar{\Omega}} u\ge \min\limits _{\partial \Omega} u^-\).
证明：仅对(1)进行证明.
第一步: 同样还是先证\(Lu<0\)的情况，我们设\(M=\max_{\bar{\Omega}}u\).如果\(M=0\)那么结论显然,因此我们证明\(M>0\)的情况.假设不然，那么必然在内点取得非负极大值，同上我们有:
\[Lu\ge 0 \]因此矛盾.
第二步: 对\(Lu\le 0\)，我们还是对\(u\)作扰动，令
\[u^{\varepsilon}=u(x)+\varepsilon e^{\lambda x} \]同理计算\(Lu^{\varepsilon}\),取\(\lambda\)充分大，我们有:
\[\begin{aligned} L u^{\varepsilon}(\boldsymbol{x}) &=L u(\boldsymbol{x})+\varepsilon L\left(e^{\lambda x_1}\right) \\ & \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 a^{11}+\lambda b^1+c(\boldsymbol{x})\right] \\ & \leqslant \varepsilon \mathrm{e}^{\lambda x_1}\left[-\lambda^2 \theta+\lambda\|b\|_{L_{\infty}}+\|c\|_{L_{\infty}}\right]<0 . \end{aligned} \]按\(c=0\)的弱极值原理分析，我们就知道结论是成立的.
注意判断\(a^{11}>\theta\)
强最大值定理.
现在我们建立强最大值原理，同样的我们需要引入Hofp引理.
[Hofp引理]
\[Lu\le 0,x\in \Omega \]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \equiv 0\).且:若存在一个点\(x_0\in \partial \Omega\),使得：
\[u(x_0)>u(x),\forall x\in \Omega \]以及\(\Omega\)满足内部球条件，那么:
(i):
\[\frac{\partial u}{\partial \nu}|_{x_0}>0 \](ii)如果\(c\ge 0\),且有\(u(x_0)\ge 0\).则(i)的结论同样成立.
证明:考虑\(c\ge 0\),不妨假设\(U=B(0,r)\),证明想法是类似的，引入一个\(v(x)\),使得：\(f(x)=u(x)+\varepsilon v(x)\)在\(|x|=r\)上达到最大值，此时必然有
\[\frac{\partial f}{\partial \nu}\ge 0 \]进而得到
\[\frac{\partial u}{\partial \nu}|_{x_0}>0 \]下边开始详细的证明，取
\[v(x):=e^{-\lambda|x|^2}-e^{-\lambda r^2} \]直接计算\(Lv\),就可以得到:
\[\begin{aligned} L v=&-\sum_{i, j=1}^n a^{i j} v_{x_i x_j}+\sum_{i=1}^n b^i v_{x_i}+c v \\ =& e^{-\lambda|x|^2} \sum_{i, j=1}^n a^{i j}\left(-4 \lambda^2 x_i x_j+2 \lambda \delta_{i j}\right) \\ & \quad-e^{-\lambda|x|^2} \sum_{i=1}^n b^i 2 \lambda x_i+c\left(e^{-\lambda|x|^2}-e^{-\lambda r^2}\right) \\ \leq & e^{-\lambda|x|^2}\left(-4 \theta \lambda^2|x|^2+2 \lambda \operatorname{tr} \mathbf{A}+2 \lambda|\mathbf{b} \| x|+c\right) \end{aligned} \]其中\(A=(a^{ij}),B=(b^i)\),我们取\(R=B(0,r)-B(0,r/2)\),因此当\(\lambda\)取得充分大时就有\(Lv\le 0\).
现在令\(f(x)=f(x)=u(x)+\varepsilon v(x)-u(x_0)\),可以看出\(Lf\le 0\)，由于连续性因此因此\(u\)在\(|x|=r/2\)有最大值根据\(u(x_0)>u(x)\)可知，取\(\varepsilon\)充分小，那么\(f\)在\(|x|=r/2\)上小于0，而在\(|x|=r\)上显然大于等于\(u(x_0)\),根据数学分析的知识我们知道:
\[\frac{\partial f}{\partial \nu}=\frac{\partial u}{\partial \nu}+\varepsilon \frac{\partial v}{\partial \nu} \ge 0 \]因此:
\[\frac{\partial u}{\partial \nu}\ge -\varepsilon\frac{\partial v}{\partial \nu}>0 \]故命题得证.
利用Hofp引理我们证明强极大值定理.
[\(c=0\)的强极大值定理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\) 且在 \(\Omega\) 上 \(c(\boldsymbol{x}) \equiv 0\).且\(\Omega\)是有界连通集,则有:(1) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \leqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点取到 \(\bar{\Omega}\) 上的最大值, 则在 \(\Omega\) 内 \(u \equiv\) 常数;
(2) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \geqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点取到 \(\bar{\Omega}\) 上的最小值, 则在 \(\Omega\) 内 \(u \equiv\) 常数.
我们记\(M=\max_{\bar{\Omega}}\),并且记\(C:=\{x\in \Omega|u(x)=M\}\),由连续性我们知道\(C\)是闭集,现在我们证明他还是开集.现在记:
\[V=\{x\in \Omega|u(x) < M\} \]因此\(\Omega=C\cup V\).\(V\)是开集,现在取\(y\in V\),使得\(dist(y,C) < dist(y,\partial \Omega)\),作以\(y\)球球心的内点位于\(V\)的最大球\(B\),因此存在\(x_0\in C\)使得\(x_0\in \partial B\),满足内部球条件,且满足Hofp引理条件,但是\(x_0\)是内点，因此\(Du=0\),但是根据Hofp引理\(\frac{\partial u}{\partial \nu} > 0\),因此矛盾,所以\(V=\varnothing\),所以\(\Omega=C\),即\(u\equiv M\).命题得证.
[\(c\ge 0\)的强极大值定理]
设 \(u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar{\Omega})\), 在 \(\Omega\) 内 \(c \geqslant 0\), \(\Omega\) 是有界的连通开集.(1) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \leqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点达到 \(u\) 在 \(\bar{\Omega}\) 上的非负最大值, 则 \(u \equiv M\);
(2) 如果在 \(\Omega\) 内有 \(L u \geqslant 0\) 且 \(u\) 在 \(\Omega\) 的内点达到 \(u\) 在 \(\bar{\Omega}\) 上的非正最小值, 则 \(u \equiv M\).
应用\(c\ge 0\)的Hofp引理即可.
3.先验估计:Drichlet边值条件
本节我们建立古典解的先验估计.
仍然设\(\Omega\)是\(\mathbb{R}^n\)中的有界区域,以及非散度型椭圆偏微分算子:
\[Lu=a_{ij}(x)D_{ij}u+b(x)D_iu+c(x)u \]其中\(a_{ij},b_i,c\in C(\bar{\Omega})\),且:
\[a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge \lambda |\xi|^2,x\in \Omega,\xi \in \mathbb{R}^n \]以及:
\[\max_{\Omega}|a_{ij}|+\max_{\Omega}|b_i|\le \Lambda \][先验估计1] :设\(u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar{\Omega})\)是方程:
\[\begin{cases}L u=f & \text { in } \Omega \\ u=\varphi & \text { on } \partial \Omega\end{cases} \]的古典解,其中\(f\in C(\bar{\Omega}),\varphi\in C(\partial \Omega)\)如果\(c\le 0\),则:
\[|u(x)| \leq \max _{\partial \Omega}|\varphi|+C(\lambda,\Lambda,\mathrm{diam}\Omega) \max _{\Omega}|f| \]
证明: 现在我们想要利用最大值原理来证明该定理,我们的想法是找到一个函数\(w\),使得:
\[\begin{cases} L(w\pm u)=Lw\pm f\le 0,x\in \Omega\\ w\pm u\ge 0,x\in \partial\Omega \end{cases} \]如此一来我们就可以利用最大值原理,得到\(w+u\)的最大值,我们相信如果对\(w\)取特别的值,就可以得到上述的先验估计.令\(F=\max_{ \Omega}|f|,\Phi=\max_{\partial \Omega}|\varphi|\),为了能够让上述的构造更加方便,我们直接令:
\[\begin{cases} Lw\le -F,x\in \Omega\\ w\ge \Phi,x\in \partial\Omega \end{cases} \]由于\(\Omega\)是有界的,因此我们不妨设\(\Omega\subset \{0 < x_1 < d\}\)中,令\(w=\Phi=\left(e^{\alpha d}-e^{\alpha x_1}\right)F,\alpha\)待定.直接计算:
\[\begin{aligned} -L w & =\left(a_{11} \alpha^2+b_1 \alpha\right) F e^{\alpha x_1}-c \Phi-c\left(e^{\alpha d}-e^{\alpha x_1}\right) F \\ & \geq\left(a_{11} \alpha^2+b_1 \alpha\right) F \geq\left(\alpha^2 \lambda+b_1 \alpha\right) F \geq F \end{aligned} \]注意到\(\alpha^2\lambda+b_1\alpha\)是关于\(\alpha\)的二次方程,因此\(\alpha\)充分大时就可以使得其大于1.
故这里的\(w\)满足我们想要的构造.利用最大值原理我们就知道:
\[-w\le u\le w \]因此:
\[\sup_{\Omega}\le \Phi+(e^{\alpha d}-1)F \]于是定理得证.
4.先验估计:Robin和Nueman边值条件
下边考虑Robin和Nueman边值问题的先验估计.
[先验估计2] :设\(u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\bar{\Omega})\)是方程:
\[\begin{cases} Lu=f,x\in \Omega\\ \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}+\alpha(x)u=\varphi,x\in \partial\Omega \end{cases} \]其中\(\boldsymbol{n}\)是\(\partial\Omega\)的单位外法方向.如果\(c(x)\le 0x\in \Omega,\alpha(x)\ge \alpha_0>0,x\in \partial\Omega\),则:
\[|u(x)| \leq C(\lambda,\Lambda,\alpha_0,\mathrm{diam}\Omega)\left\{\max _{\partial \Omega}|\varphi|+\max _{\Omega}|f|\right\},x\in \Omega \]
证明: Case1:我们先考虑\(c(x)\le -c_0<0\)的情形.我们证明:
\[|u(x)| \leq \frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi \]证明想法是类似的,构造\(v\)使得其和满足Hofp最大值定理的条件.令\(v=\frac{1}{c_0}F+\frac{1}{\alpha_0}\Phi\pm u\).则我们有:
\[\begin{aligned} L v & =c(x)\left(\frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi\right) \pm f \leq-F \pm f \leq 0 &x\in \Omega, \\ \frac{\partial v}{\partial n}+\alpha v & =\alpha\left(\frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi\right) \pm \varphi \geq \Phi \pm \varphi \geq 0 & x\in \partial \Omega . \end{aligned} \]如果\(v\)在\(\bar{\Omega}\)中负的最小值,则其在边界上可达,根据Hofp极值定理,我们知道存在\(x_0\)使得\(\frac{\partial v}{\partial n}(x_0)\le 0\),这意味着:
\[\left(\frac{\partial v}{\partial n}+\alpha v\right)\left(x_0\right) \leq \alpha v\left(x_0\right)<0 \]矛盾.因此\(v\ge 0,x\in \Omega\).故我们得到了:
\[|u(x)| \leq \frac{1}{c_0} F+\frac{1}{\alpha_0} \Phi \]Case2:考虑一般的情况,\(c\le 0\).我们考虑辅助函数\(u(x)=z(x)w(x)\),其中\(z\)是一个正的待定的函数,我们直接计算\(Lu\).就得到了:
\[\begin{aligned} a_{i j} D_{i j} w+B_i D_i w+\left(c+\frac{a_{i j} D_{i j} z+b_i D_i z}{z}\right) w & =\frac{f}{z} \\ \frac{\partial w}{\partial n}+\left(\alpha+\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial n}\right) w & =\frac{\varphi}{z} \end{aligned} \]其中\(B_i=\frac{1}{2}(a_{ij}+a_{ji})D_jz+b_i\),现在我们希望\(z>0,x\in \bar{\Omega}\),使得:
\[\begin{aligned} & c+\frac{a_{i j} D_{i j} z+b_i D_i z}{z} \leq-c_0\left(\lambda, \Lambda, d, \alpha_0\right)<0 \\ & \alpha+\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial n} \geq \frac{1}{2} \alpha_0 \end{aligned} \]如此一来我们就可以利用\(c(x)<-c_0\)的情况.为此我们仍然设\(\Omega\subset \{0<x_1<d\}\),并令\(z(x)=A+e^{\beta d}-e^{\beta x_1}\)其中\(A,\beta>0\)待定.计算可得:
\[\begin{aligned} -\frac{1}{z}\left(a_{i j} D_{i j} z+b_i D_i z\right) & =\frac{\left(\beta^2 a_{11}+\beta b_1\right) e^{\beta x_1}}{A+e^{\beta d}-e^{\beta x_1}} \\ & \geq \frac{\beta^2 a_{11}+\beta b_1}{A+e^{\beta d}} \geq \frac{1}{A+e^{\beta d}}>0 \end{aligned} \]这里我们选择\(\beta\)充分大使得\(\beta^2a_{11}+\beta b_1\ge 1\),则我们有:
\[\left|\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial n}\right| \leq \frac{\beta}{A} e^{\beta d} \leq \frac{1}{2} \alpha_0 \]这里我们选择\(A\)充分大使得上式成立.
然后利用\(c(x)\le -c_0\)的情况即可得证.、
参考文献
- 韩青, 林芳华. Elliptic Partial Differential Equations[M]. AMS, 2011
- Evans. Partial differential equations[M]. 2010.
- 王术. Sobolev 空间和偏微分方程引论 [M]. 科学出版社, 2009