前置知识：整除分块
结论：集合 \(\{x|\exists i\in \mathbb N^*,\lfloor \frac n i\rfloor =x\}\) 中的元素数量为 \(\sqrt n\) 级别个。具体来说，不超过 \(2\sqrt n\) 个。
证明：对于 \(i \le \sqrt n\)，\(\lfloor \frac n i \rfloor\) 至多只有 \(\sqrt n\) 种取值；对于 \(i > \sqrt n\)，\(\lfloor \frac n i \rfloor < \sqrt n\)，也至多只有 \(\sqrt n\) 种取值。综上，对于所有的 \(i \in [1,n]\)，\(\lfloor \frac n i \rfloor\) 至多只有 \(2\sqrt n\) 种取值。
应用：假设我们现在要求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n \lfloor \frac n i \rfloor\) 的值，且 \(n \le 10^{12}\)。
由于 \(\lfloor \frac n i \rfloor\) 的取值不超过 \(2\sqrt n\) 个，不难想到对于每个 \(x\) 统计 \(\lfloor \frac n i \rfloor=x\) 的 \(i\) 的数量。显然，所有的 \(i\) 一定恰好为一个区间 \([l,r]\)。假设我们已知 \(l\)，容易发现 \(r\) 就是 \(\left \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac n l \rfloor} \right \rfloor\)，数量就是 \(r-l+1\) 个。还可以得知下一种取值的 \(l\) 就是当前取值的 \(r+1\)。
正题：莫比乌斯函数
定义：
\(\mu\) 是莫比乌斯函数。
\[\mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\text{ 含有平方因子}\\ (-1)^k&k\text{ 为 }n\text{ 的本质不同质因子个数}\\ \end{cases} \]性质：
-
\(\mu\) 是积性函数。
-
\(\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\)，其中当 \(x=1\) 时 \([x=1]\) 的值为 \(1\)，否则为 \(0\)。
仅仅利用这两个性质就可以解决的问题：给出 \(n,m,v\)，求满足 \(1 \leq x \leq n\)，\(1 \leq y \leq m\)，且 \(\gcd(x,y)=d\) 的二元组 \((x,y)\) 的数量。形式化的讲，求 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=v]\)。
为了能够使用第二个性质，我们可以默认 \(i,j\) 都是 \(d\) 的倍数，所以 \(\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=v]=\displaystyle \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n v \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac m v \rfloor}[\gcd(i,j)=1]\)
然后利用 \(\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\)，也就是 \([n=1]=\displaystyle\sum_{d|n} \mu(d)\)，将 \([\gcd(i,j)=1]\) 化成 \(\displaystyle\sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d)\)。
那么原式就变成了 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n v \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac m v \rfloor}\displaystyle\sum_{d|\gcd(i,j)} \mu(d)\)，改变枚举顺序，先枚举 \(d\)，就是 \(\displaystyle\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor \frac n {vd} \rfloor\lfloor \frac m {vd} \rfloor\)。再对 \(\lfloor \frac n {vd} \rfloor\lfloor \frac m {vd} \rfloor\) 进行整除分块，求一个 \(\mu\) 的前缀和即可。
更多：莫比乌斯变换
一般莫比乌斯变换有两种形式。
设 \(f(n),g(n)\) 是两个数论函数。
形式一：若 \(f(n)=\displaystyle \sum_{d|n}g(d)\)，则有 \(g(n)=\displaystyle \sum_{d|n} \mu(d)f(\frac n d)\)。
形式二：若 \(f(n)=\displaystyle \sum_{n|d}g(d)\)，则有 \(g(n)=\displaystyle \sum_{n|d} \mu(\frac d n)f(d)\)。
我们称 \(f(n)\) 为 \(g(n)\) 的莫比乌斯变换，\(g(n)\) 为 \(f(n)\) 的莫比乌斯逆变换（莫比乌斯反演）。
事实上，莫比乌斯函数的性质好像莫比乌斯反演出现的更加频繁。
总结
莫比乌斯反演是数论中的重要内容。对于一些函数 \(f(n)\)，如果很难直接求出它的值，而容易求出其倍数和或约数和 \(g(n)\)，那么可以通过莫比乌斯反演简化运算，求得 \(f(n)\) 的值。同时，它出现时的各种形式变化多端，十分有趣。
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