标签：直线 cos frac 22 笔记 vec 数下 向量

工科数学分析下

第六章 向量代数和空间解析几何

$$ 向量平行条件：\frac{x_2}{x_1}=\frac{y_2}{y_1}=\frac{z_2}{z_1} $$

方向角

$$ 设向量\vec{a}与三个坐标轴正方向的夹角分别为\alpha,\beta,\gamma,则\alpha,\beta,\gamma称为向量\vec{a}的方向角，方向角唯一确定了方向的向量 $$
$$ cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma =1 $$
$$ a^0 = \lbrace cos\alpha,cos\beta,cos\gamma\rbrace $$

向量的乘积

向量的数量积

$$ \vec a \cdot \vec b=|\vec a| |\vec b| cos\langle \vec a, \vec b \rangle $$
$$ \vec a \cdot \vec b = x_1 x_2+y_1 y_2 + z_1 z_2 $$
$$ cos \langle \vec a , \vec b \rangle =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2+y_12+z_1^2}\sqrt{x_22+y_2^2+z_22}} $$

向量的向量积

$$ \vec a\times \vec b 同时垂直于\vec a和\vec b ，且\vec a,\vec b, \vec a \times \vec 成右手系 $$
$$ |\vec a \times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin\langle \vec a,\vec b \rangle ,即\vec a,\vec b 构成的平行四边形的面积 $$
$$ \vec a //\vec b <=>|\vec a \times \vec b|=0 $$
$$ \vec a \times \vec b=\begin{vmatrix}
i & j & k \
x_1 & y_1 & z_1 \
x_2 & y_2 & z_2 \
\end{vmatrix} $$

向量的混合积

$$ (\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec a \times \vec b) \cdot \vec c =\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \
x_2 & y_2 & z_2 \
x_3 & y_3 & z_3 \
\end{vmatrix}=以\vec a,\vec b,\vec c为底的平行六面体的面积,且 \vec a,\vec b,\vec c三者互换位置不影响$$
$$ 三向量\vec a,\vec b,\vec c共面<=>(\vec a,\vec b,\vec c)=0 $$

平面的方程

点法式

$$ 给定点M_0(x_0,y_0,z_0)和一个非零向量\vec n=\lbrace A,B,C\rbrace,存在唯一一个平面过点M_0且与\vec n 垂直 $$
$$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 $$

平面的一般方程

$$ Ax+By+Cz+D=0 ,\vec n=\lbrace A,B,C\rbrace 即为平面法向量$$

截距式

$$ 设平面与x轴，y轴，z轴的交点为M_1(a,0,0),M_2(0,b,0),M_3(0,0,c),则平面方程为 $$
$$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $$

有关平面的一些问题

两平面的夹角

$$ \pi_1=A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 法向量为\vec{n_1}$$
$$ \pi_2=A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 法向量为\vec{n_2}$$
$$ cos\theta =\frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{|A_1 A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_12+C_1^2}\sqrt{A_22+B_2^2+C_22}} $$

点到平面的距离

$$ M_0:(x_0,y_0,z_0) $$
$$ \pi:Ax+By+Cz+D=0 $$
$$ d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B2+C^2}} $$

平面束

$$ \left{ \begin{aligned} \pi_1=A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \
\pi_2=A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0
\end{aligned}
\right.$$
$$ 过两平面交点的平面：\mu(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 $$
$$ 可和\pi_1重合但不和\pi_2重合： (A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

空间直线方程

直线的一般方程

$$ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 $$
$$ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 (A_1:B_1:C_1)\neq(A_2:B_2:C_2)$$

直线的标准方程和参数方程

$$ 设M_0(x_0,y_0,z_0)是空间中一点，\vec s=\lbrace l,m,n\rbrace ，则唯一存在一条直线L过点M_0且与\vec s平行 $$
$$ 标准方程或对称式方程：\frac{x-x_0}{l}= \frac{y-y_0}{m}= \frac{z-z_0}{n}$$
$$ 参数方程： \left{ \begin{aligned} x=x_0+lt \
y=y_0+mt\
z=z_0+nt
\end{aligned}
\right.$$

有关直线和平面的一些问题

直线与直线的夹角

$$ L1:\frac{x-a_1}{l_1}=\frac{y-b_1}{m_1}=\frac{z-c_1}{n_1} 设\vec {s_1}={l_1,m_1,n_1}$$
$$ L2:\frac{x-a_2}{l_2}=\frac{y-b_2}{m_2}=\frac{z-c_2}{n_2} 设\vec {s_2}={l_2,m_2,n_2}$$
$$ cos\theta=\frac{|\vec {s_1}\cdot\vec {s_2}|}{|\vec {s_1}||\vec{s_2}|} =\frac{|l_1 l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_12+n_1^2}\sqrt{l_22+m_2^2+n_22}}$$

直线与平面夹角

$$ L:\frac{x-a}{l}= \frac{y-b}{m}= \frac{z-c}{n} $$
$$ \pi:Ax+By+Cz+D=0 $$
$$ sin\theta=\frac{|\vec s\cdot \vec n| }{|\vec s||\vec n|}=\frac{|lA+mB+nC|}{\sqrt{l^2+m2+n^2}\sqrt{A2+B^2+C2}} $$

点到直线的距离

• 过点作垂面，求垂面与直线的交点，求两点距离
• 在L上任取一点，求两点构成的向量在直线上的投影，解三角形
• 在L上任取一点，求两点构成的向量和直线向量的向量积，解平行四边形
• 设直线上的点，求两点距离，取最小值

两线共面

• 两条线各取一点，构成向量，与原直线共三个向量，求三向量共面

标签：直线,cos,frac,22,笔记,vec,数下,向量
From： https://www.cnblogs.com/bingcm/p/17160509.html