本学期的高等代数每周一题活动计划从第1教学周开始，到第15教学周结束，每周的周末公布1道思考题（共15道，思考题一般与下周授课内容密切相关），供大家思考和解答。每周一题将通过“高等代数官方博客”（以博文的形式）和“22级高等代数在线课群”（以课群话题的形式）这两个渠道同时发布。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，用手机APP或微信小程序扫描（推荐扫描全能王，请不要直接用手机拍照，这样的图片像素太高不利于浏览），并将扫描图片上传到每周一题对应的课群话题中。本人会定期对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2023S01] 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换. 设 $f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]$ 为首一多项式, $d(x)=(f(x),g(x))$, $m(x)=[f(x),g(x)]$ 分别是 $f(x),g(x)$ 的最大公因式和最小公倍式. 证明:
$$\mathrm{Ker\,}d(\varphi)=\mathrm{Ker\,}f(\varphi)\cap\mathrm{Ker\,}g(\varphi),\,\,\,\,\mathrm{Ker\,}m(\varphi)=\mathrm{Ker\,}f(\varphi)+\mathrm{Ker\,}g(\varphi).$$
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