组合数学 2

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可重集合排列

\(n\) 种字母，每种字母 \(a_i\) 个，有多少种不同的排列？

\[C_{\sum a_{1\sim n}}^{a_{1}}\cdot C _{\sum a_{2\sim n}}^{a_{2}}\cdot \ldots \cdot C_{a_n}^{a_{n}}=\dfrac{\left( \sum a_{i}\right) !}{a_{1!}a_{2!}\ldots a_{n!}} \]

圆排列

显然地，\((n-1)!\)

错位排列

将 \(1\sim n\) 生成全排列，其中第 \(1\) 位不能为 \(1\)、第 \(2\) 位不能为 \(2\ldots\) 第 \(n\) 位不能为 \(n\) 的方案数被称为错位排列，记为 \(D_n\)

1. 从容斥原理考虑

\[D_{n}=\sum ^{n}_{i=0}C_{n}^{i}\left( n-i\right)!\cdot \left( -1\right) ^{i} \]

\[即D_{n}=\sum ^{n}_{i=0}\left( -1\right) ^{i}\cdot A_{n}^{i} \]

2. 从递推角度考虑

\[D_{n}=\left( n-1\right) \left( D_{n-1}+D_{n-2}\right) \]

\(\mathtt{Stirling}\) 数

第一类斯特林数

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1} +\left( i-1\right) \cdot dp_{i-1,j} \]

第二类斯特林数

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+j\cdot dp_{i-1,j} \]

\(\mathtt{Catalan}\) 数

\[Cat_{n}=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}=\dfrac{C^{2n}_n}{n+1} \]

性质

\[Cat_n=\sum ^{n}_{l=1}Cat_{l-1}\cdot Cat_{n-l} \]

证明、应用

懒得写了。

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