矩阵笔记2:矩阵分析(第三版)-史荣昌-第二章:λ-矩阵与矩阵的Jordan标准型

文章目录

• ​​0 笔记说明​​
• ​​1 书本内容​​

• ​​1.1 λ-矩阵及标准型​​
• ​​1.2 初等因子与相似条件​​
• ​​1.3 矩阵的Jordan标准型​​
• ​​1.4 矩阵的有理标准型​​

• ​​2 听课笔记​​

• ​​2.1 λ-矩阵及标准型​​
• ​​2.2 初等因子与相似条件​​
• ​​2.3 矩阵的Jordan标准型​​
• ​​2.4 矩阵的有理标准型​​

0 笔记说明

参考书籍为：

本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。博客主要分为两部分：【1 书本内容】与【2 听课笔记】，前者为对教材中重要定理、定义的整理，后者为自己在矩阵上课时的笔记的二次书面整理。根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。

本篇博客是关于第二章的内容，下面开始即为正文。

1 书本内容

1.1 λ-矩阵及标准型

1、λ-矩阵：设α_ij(λ)为数域F上的多项式，其中i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，则称以α_ij(λ)为元素的m×n矩阵：

为多项式矩阵或λ-矩阵。称多项式α_ij(λ)中最高的次数为A(λ)的次数，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n。数字矩阵和特征矩阵λE-A都是λ-矩阵的特例。λ-矩阵的加法、数乘和乘法运算、矩阵的转置与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律。

2、λ-矩阵的行列式：λ-矩阵行列式的性质与数字矩阵相同。一般情况下，λ-矩阵的行列式|A(λ)|是λ的一个多项式。

3、λ-矩阵的秩：如果λ-矩阵A(λ)中有一个r(r≥1)阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果有的话)全为零，则称A(λ)的秩为r，记为rankA(λ)=r。由于A(λ)的行列式及一切子式都是λ的多项式，所以r+1阶子式为零的含义是r+1阶子式恒为零。

4、λ-矩阵的可逆：一个n阶λ-矩阵称为可逆的，如果有一个n阶λ-矩阵B(λ)，满足A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E，这里E是n阶单位矩阵，则B(λ)称为A(λ)的逆矩阵，记为A^-1(λ)。n阶λ-矩阵A(λ)可逆⇔|A(λ)|是非零常数。n阶λ-矩阵A(λ)的秩为n，不等价于A(λ)可逆，这是与数字矩阵不相同之处。

5、λ-矩阵的初等变换：

（1）矩阵的任意二行(列)互换位置；

（2）非零常数c乘矩阵的某一行(列)；

（3）矩阵的某一行(列)的φ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中φ(λ)是λ的一个多项式。

6、λ-矩阵的初等矩阵：对单位矩阵施行一次上述三种类型的初等变换，便得相应的三种λ-矩阵的初等矩阵：

（1）矩阵的任意第i行(列)和第j行(列)互换位置，得到的矩阵为：

（2）非零常数c乘矩阵的第i行(列)，得到的矩阵为：

（3）矩阵的【第i行的φ(λ)倍加到第j行上去】或者【第j列的φ(λ)倍加到第i列上去】，其中φ(λ)是λ的一个多项式，得到的矩阵为：

对m×n阶的λ-矩阵A(λ)作初等行变换，相当于用相应的m阶初等矩阵左乘A(λ)。对A(λ)作初等列变换，相当于用相应的n阶初等矩阵右乘A(λ)。

7、λ-矩阵的等价：如果A(λ)经过有限次的初等变换后变成B(λ)，则称A(λ)与B(λ)等价，记之为A(λ)≌B(λ)。A(λ)≌B(λ)⇔存在两个可逆矩阵P(λ)与Q(λ)，使得B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ)。λ-矩阵的等价关系满足：

（1）自反性：每一个λ-矩阵与自己等价；

（2）对称性：若A(λ)≌B(λ)，则B(λ)≌A(λ)；

（3）传递性：若A(λ)≌B(λ)，B(λ)≌C(λ)，则A(λ)≌C(λ)。

8、Smith标准型：任意一个非零的m×n阶λ-矩阵A(λ)都等价于一个对角形矩阵，即：

其中r≥1，d_i(λ)是首项系数为1的多项式，且：d_i(λ)|d_i+1(λ)，i=1,2,…,r-1。上图中的三个0代表的是零矩阵。上图与A(λ)等价的右面的矩阵称为A(λ)的Smith标准型，d_i(λ)称为A(λ)的不变因子，i=1,2,…,r。λ-矩阵的Smith标准型是唯一的，可以应用初等变换求λ-矩阵的Smith标准型，也可以应用行列式因子求Smith标准型。

9、对A(λ)用初等变换化成Smith标准型时，A(λ)的特点只有三种：

（1）A(λ)的元素中至少有一个非零常数，这属于A(λ)无公因式的情况，这时通过初等变换将非零常数换到最左上角；

（2）A(λ)的元素有公因式，这时通过初等变换将某一个元素化为公因式，然后通过初等变换将其换到最左上角；

（3）A(λ)的所有元素既无非零常数又无公因子，这时通过初等变换将某一个元素化为非零常数，然后通过初等变换将其换到最左上角。

之后通过初等变换将左上角的元素所在的行和列都化为0，然后对右下角的低次阶矩阵进行相同的判断后采取相应操作。注意最终得到的Smith标准型矩阵中的每个不变因子的首项系数均为1，若不变因子为常数则必须是1。

10、m×n阶λ-矩阵A(λ)与B(λ)等价的充要条件：

（1）A(λ)与B(λ)的所有行列式因子都相同；

（2）A(λ)与B(λ)的所有不变因子都相同；

（3）A(λ)与B(λ)的所有初等因子都相同且秩相等。

11、n阶λ-矩阵A(λ)可逆的充要条件：

（1）A(λ)与单位矩阵等价；

（2）A(λ)可以表示成一些初等矩阵的乘积。

1.2 初等因子与相似条件

1、初等因子：λ-矩阵的行列式因子D_k(λ)与不变因子d_k(λ)都是λ的多项式，它们都是由A(λ)的元素a_ij(λ)经过加、减、乘而得到的。在复数域C内，作为多项式的不变因子d_k(λ)总可以分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，令：

因为d_k-1(λ)|d_k(λ)，k=2,…,r，所以k_1j≤k_2j≤…≤k_rj，j=1,2,…,t。这里的λ₁,λ₂,…,λ_t是d_r(λ)的全部相异零点，所以k_r1,k_r2,…,k_rt都是非零常数，但是k_1j≤k_2j≤…≤k_r-1,j中可能有零，其中j=1,2,…,t，而且若k_ij=0，其中j=1,2,…,t，i=1,2,…,r-1，则有k_1j=k_2j=…k_r-1,j=0。将：

中不是常数的因子全体叫做A(λ)的初等因子。举个栗子：

2、准对角形矩阵的初等因子：设λ-矩阵A(λ)如下：

A(λ)为准对角形矩阵，则B_i(λ)的各个初等因子的全体是A(λ)的全部初等因子，其中i=1,2,…,t。

1.3 矩阵的Jordan标准型

1、Jordan标准型：称n_i阶矩阵J_i：

为Jordan块。设J_i为若当块，其中i=1,2,…,s，称准对角矩阵J：

为Jordan标准型。2、数字矩阵对应的Jordan标准型：设矩阵A∈C^m×n，A的初等因子为：(λ-λ₁)^n₁,(λ-λ₂)^n₂,…,(λ-λ_s)^n_s，则A～J，其中J：

n_i阶矩阵J_i：

称矩阵J为矩阵A的Jordan标准型。若n_i=1，J_i是一阶Jordan块，当矩阵A的Jordan标准型中的Jordan块全是一阶时，J便是对角矩阵，因此可得：数字矩阵A可对角化⇔A的初等因子都是一次因式。

3、数字矩阵A对应的Jordan标准型的三点结论：

（1）每一个Jordan块J_i对应着属于λ_i的一个特征向量，其中λ_i是数字矩阵A的特征值；

（2）对于给定特征值λ_i，其对应Jordan块的个数等于λ_i的几何重复度；

（3）对于给定特征值λ_i，λ_i对应全体Jordan块的阶数之和等于λ_i的代数重复度。

4、关于Jordan标准型，我写了一篇博文——​​Jordan标准型的由来?为何n阶数字方阵都必有对应的Jordan标准型?怎么求可逆矩阵P?​​

1.4 矩阵的有理标准型

由于时间问题，省略这一部分，以后用到才会补。

2 听课笔记

2.1 λ-矩阵及标准型

1、数域F上关于λ的一元多项式：n是非负整数，F是一个数域，a₀,a₁,…,a_n∈F，则f(λ)=a_nλⁿ+a_n-1λ^n-1+…+a₁λ+a₀称为数域F上关于λ的一元多项式。如果a_n≠0，则称a_nλⁿ为f(λ)的首项，n称为多项式的次数，记为∂(f(λ))，于是∂(f(λ))=n。如果a₀=a₁=…=a_n=0，称该多项式为零多项式。规定∂(f(λ))=-∞。

2、约定：

（1）F[λ]：是全体多项式组成的集合；

（2）Fⁿ[λ]：是全体次数小于n的多项式组成的集合。

3、多项式整除的定义：f(λ),g(λ)∈F[λ]，如果g(λ)≠0，则存在q(λ),r(λ)∈F[λ]，使得f(λ)=g(λ)q(λ)+r(λ)，其中【r(λ)=0】或者【r(λ)≠0且∂(r(λ))<∂(g(λ))】，q(λ)称为g(λ)除f(λ)的商，r(λ)称为余式。如果r(λ)=0，则称g(λ)整除f(λ)，记为g(λ)|f(λ)。称f(λ)是g(λ)的倍式，g(λ)是f(λ)的因式。因为【∀g(λ)∈F[λ]，均有0=g(λ)·0+0】，所以0是任意多项式的倍式。

4、公因式与公倍式：f(λ),g(λ),d(λ)∈F[λ]，如果d(λ)|f(λ)且d(λ)|g(λ)，则称d(λ)为f(λ)与g(λ)的公因式，其中，最大公因式就是次数最大的公因式，(f(λ),g(λ))表示f(λ)与g(λ)的最大公因式，如果(f(λ),g(λ))=1，则称f(λ)与g(λ)互质；如果f(λ)|d(λ)且g(λ)|d(λ)，则称d(λ)为f(λ)与g(λ)的公倍式，其中，最小公倍式就是次数最小的公倍式。

5、任何多项式均可表示为多个不可约多项式幂次的乘积：f(λ)∈F[λ]，f(λ)=(q₁(λ))^r₁(q₂(λ))^r₂…(q_s(λ))^r_s，其中q_i(λ)为不可约多项式，即q_i(λ)不能表示成两个次数比q_i(λ)低的多项式的乘积。同一个多项式在不同数域下可能是不可约多项式，也可能是可约多项式，如对于f(λ)=λ²+1，当F[λ]=R[λ]时，f(λ)是不可约多项式；当F[λ]=C[λ]时，f(λ)是可约多项式，f(λ)=(λ+i)(λ-i)。关于不可约多项式，有以下结论：

（1）当F[λ]=R[λ]时，不可约多项式只有两种：① 一次的，即aλ+b，其中a≠0，a、b∈R；② 二次的，即aλ²+bλ+c，其中a≠0，b²-4ac<0，a、b、c∈R；

（2）当F[λ]=C[λ]时，不可约多项式只有一种：一次的，即aλ+b，其中a≠0，a、b∈R。

6、λ矩阵可以看作是以数字矩阵为系数的多项式，举个栗子：

7、行列式因子：设A(λ)∈[F[λ]]^m×n，且rank(A(λ))=r，取k=1,2,…,r，从A(λ)中取所有k阶子式，将所有非零的k阶子式的最大的、首项系数为1的公因式D_k(λ)称为k阶行列式因子。等价矩阵有相同的各阶行列式因子，从而有相同的秩。

8、不变因子：设A(λ)∈[F[λ]]^m×n，且rank(A(λ))=r，对于k阶行列式因子D_k(λ)，令：① d₁(λ)=D₁(λ)；② d_k(λ)=D_k(λ)/D_k-1(λ)，其中k=2,3,…,r。称d₁(λ),d₂(λ),…,d_r(λ)为A(λ)的不变因子。当n阶λ-矩阵A(λ)满秩时，|A(λ)|=c·d₁(λ)…d_n(λ)，其中c为非零常数。这表明每个不变因子d_i(λ)都是行列式|A(λ)|的因子，又因为不变因子d_i(λ)是由矩阵A(λ)唯一确定，故d_i(λ)是A(λ)的不变量，这也正是称d_i(λ)为不变因子的原因。

2.2 初等因子与相似条件

1、初等因子：设A(λ)∈[F[λ]]^m×n，且rank(A(λ))=r，对于A(λ)的不变因子，即d₁(λ),d₂(λ),…,d_r(λ)进行质因式分解，则得到初等因子。

2、数字矩阵的各种因子：对于数字矩阵A∈C^n×n，其特征矩阵λⅠ-A为λ矩阵，必有rank(λⅠ-A)=n和|λⅠ-A|≠0，称λⅠ-A的行列式因子、不变因子、初等因子为A的行列式因子、不变因子、初等因子。

3、数字矩阵相似的充要条件：对于数字矩阵A、B∈C^n×n，A～B的充要条件为：

（1）λⅠ-A≌λⅠ-B；

（2）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的Smith标准型；

（3）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的不变因子；

（4）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的行列式因子；

（5）λⅠ-A、λⅠ-B有相同的初等因子。

4、n阶矩阵的Smith标准型：A∈C^n×n，设λⅠ-A的Smith标准型为：

则有：

（1）rank(λⅠ-A)=n，|λⅠ-A|≠0；

（2）d₁(λ)·d₂(λ)·…·d_n(λ)=|λⅠ-A|；

（3）∂(d₁(λ))+∂(d₂(λ))+…+∂(d_n(λ))=n。

2.3 矩阵的Jordan标准型

1、线性变换的特征结构：