文章目录
- 0 笔记说明
- 1 书本内容
- 1.1 线性空间
- 1.2 基与坐标、坐标变换
- 1.3 线性子空间
- 1.4 线性映射
- 1.5 线性映射的值域、核
- 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算
- 1.7 n维线性空间的同构
- 1.8 线性变换的特征值与特征向量
- 1.9 线性变换的不变子空间
- 1.10 矩阵的相似对角形
- 2 听课笔记
- 2.1 线性空间
- 2.2 基与坐标、坐标变换
- 2.3 线性子空间
- 2.4 线性映射
- 2.5 线性映射的值域、核
- 2.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算
- 2.7 n维线性空间的同构
- 2.8 线性变换的特征值与特征向量
- 2.9 线性变换的不变子空间
- 2.10 矩阵的相似对角形
0 笔记说明
参考书籍为：
本笔记主要是为了方便自己日后复习。由于未学习LaTeX，我会上传教材图片或者手写图片代替部分公式或内容。博客主要分为两部分：【1 书本内容】与【2 听课笔记】，前者为对教材中重要定理、定义的整理，后者为自己在矩阵上课时的笔记的二次书面整理。根据自身学习需要，我可能会增加必要内容。
本篇博客是关于第一章的内容，下面开始即为正文。
1 书本内容
本篇博客将简要地介绍线性空间，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F。
1.1 线性空间
1、线性空间：设V是一个非空集合，F是一个数域，在集合V的元素之间定义了加法运算，即对于V中任意两个元素α与β，在V中都有唯一的元素v与它们相对应，称之为α与β的和，记为v=α+β，并且加法运算满足下面四条法则：
（1）交换律：α+β=β+α；
（2）结合律：α+(β+γ)=(α+β)+γ；
（3）零元素：在V中有一元素0（称作零元素），对于V中任一元素α都有α+0=α；
（4）负元素：对于V中每一个元素α，都有V中的元素β，使得α+β=0。
上面四条法则中，α、β、γ为V中的任意三个元素，α、β、γ∈V。除此之外，在集合V中的元素与数域F中的数之间还定义了一种运算，叫做数乘，即对于V中任一元素α与F中任一数k，在V中有唯一的一个元素η与它们对应，称为k与α的数乘，记为η=k·α=kα，并且数乘运算满足下面四条法则：
（1）1·α=α；
（2）(kl)α=k(lα)；
（3）(k+l)α=kα+lα；
（4）k(α+β)=kα+kβ。
上面四条法则中，k，l为F中的任意两个数，k、l∈F。则称集合V为数域F上的线性空间。
2、矩阵的核空间/零空间：设A为实数域（或复数域）上的m×n阶矩阵，易证：齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实数域（或复数域）上的线性空间。此空间为方程组Ax=0的解空间，也称为矩阵A的核空间或零空间，用N(A)表示。
3、矩阵的值域/列空间：设A为实数域（或复数域）上的m×n阶矩阵，x为n维列向量，则m维列向量集合V={y∈Rm(或Cm) I y=Ax,x∈Rn(或Cn),A∈Rm×n(Cm×n)}构成实数域（或复数域）上的线性空间，称为A的列空间或A的值域，用R(A)表示。
4、线性表示/线性组合：设V是数域F上的线性空间，α1,α2,…,αr是V中的任意一组向量（其中r≥1），k1,k2,…,kr是数域F中的一组数。若向量α可以表示成α=k1α1+k2α2+…+krαr，则称α可由α1,α2,…,αr线性表示或线性表出，同时也可以称α是α1,α2,…,αr的线性组合。
5、线性相关/线性无关：设α1,α2,…,αr是线性空间V中的一组向量（其中r≥1）。如果在数域F中有r个不全为零的数k1,k2,…,kr，使得k1α1+k2α2+…+krαr=0，则称α1,α2,…,αr线性相关。如果一组向量α1,α2,…,αr不线性相关，就称为线性无关。换言之，若k1α1+k2α2+…+krαr=0当且仅当k1=k2=…kr=0，便称α1,α2,…,αr线性无关。一组向量要么线性相关，要么线性无关，非此即彼。
6、线性表出唯一定理：设线性空间V中向量组α1,α2,…,αm线性无关，且向量组α1,α2,…,αm,β线性相关，则β可由α1,α2,…,αm线性表出，且表出是唯一的。
1.2 基与坐标、坐标变换
1、基、坐标、维数：设数域F上的线性空间V中有n个线性无关向量α1,α2,…,αn，而且V中任何一个向量α都可由α1,α2,…,αn线性表出：α=k1α1+k2α2+…+knαn，则称α1,α2,…,αn为V的一个基，(k1,k2,…,kn)T为α在基α1,α2,…,αn下的坐标，称V为n维线性空间，并记dimV=n。
2、过渡矩阵：设α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是V中的任意两个基，它们之间的关系是：
上图中i=1,2,…,n。将这n个关系式用矩阵记号可以表示成：
记n阶方阵为P：
称矩阵P是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵。矩阵P一定是可逆的，所以由基β1,β2,…,βn到基α1,α2,…,αn的过渡矩阵为P-1。可写成(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P或者(α1,α2,…,αn)=(β1,β2,…,βn)P-1。3、坐标变换：设ξ∈V，若ξ在基α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn下的坐标分别为(x1,x2,…,xn)T与(y1,y2,…,yn)T，即若有：
则有：
其中，矩阵P是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩阵。称上图的两个公式为坐标变换公式。
4、使用可逆矩阵将旧的一个基变成新的一个基：设α1,α2,…,αn为线性空间V的一个基，A为可逆矩阵，记(α1,α2,…,αn)P为β1,β2,…,βn，即(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P，则β1,β2,…,βn也为V的一个基。
1.3 线性子空间
1、线性子空间：设W是数域F上的线性空间V的一个非空子集，若W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个线性子空间，简称为子空间，dim W ≤ dim V。
2、平凡子空间：在线性空间V中，由单个零向量“0”构成的集合是一个线性子空间，称为V的零子空间。在线性空间V中，V本身也可看成是一个线性子空间。这两个子空间称为V的平凡子空间，其他子空间称为为非平凡子空间。
3、生成子空间：设α1,α2,…,αs是线性空间V中一组向量，则集合span{α1,α2,…,αs}={k1α1+k2α2+…+ksαs|∀ki∈F}是非空集合，则span{α1,α2,…,αs}是V的线性子空间。称非空子集span{α1,α2,…,αs}是由向量α1,α2,…,αs生成的生成子空间。
4、生成子空间的维数：dim span{α1,α2,…,αs}=rank{α1,α2,…,αs}，其中rank{α1,α2,…,αs}是向量组α1,α2,…,αs的秩。向量组α1,α2,…,αs的任何一个极大线性无关组均可作为span{α1,α2,…,αs}的一个基。
5、生成子空间之间的等价：若α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt都是n维向量组，则span{α1,α2,…,αs}=span{β1,β2,…,βt}⇔α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt等价，即α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt可以互相线性表示。
6、交空间与和空间：设V1，V2是线性空间V的两个子空间，命V1∩V2={αlα∈V1且α∈V2}，则V1∩V2构成V的线性子空间。称V1∩V2为V1与V2的交空间。命V1+V2={α=α1+α2lα1∈V1且α2∈V2}，则V1+V2构成V的线性子空间。称V1+V2为V1与V2的和空间。
7、生成子空间的和：设V1=span{α1,α2,…,αs}，V2=span{β1,β2,…,βt}，则V1+V2=span{α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt}。
8、维数公式：设V1与V2是线性空间V的两个子空间，则dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)。
9、直和：如果W1+W2中的任何一个向量均可以唯一分解成W1和W2中的两个向量之和，则称W1+W2为直和，记为W1⊕W2。
10、直和的判定：设W1，W2是线性空间V的两个子空间，则下列命题等价：① W1+W2是直和；② 0的分解唯一；③ W1∩W2={0}；④ dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)；⑤ W1，W2的基一起构成W1+W2的基。
11、直和分解与代数补：设W，W1，W2是线性空间V的三个子空间，且W=W1⊕W2，则称W有一个直和分解。特别地，若W=V=W1⊕W2，便称W1和W2是线性空间V的一对互补的子空间，或称W1是W2的代数补子空间，也可称W2是W1的代数补子空间。
12、代数补子空间存在定理：设U是线性空间V的一个子空间，则一定存在U的代数补子空间W，使得V=U⊕W。
1.4 线性映射
1、线性映射：设V1，V2是数域F上的两个线性空间，映射
标签：线性变换,V1,矩阵,第三版,空间,线性,向量 From： https://blog.51cto.com/u_14975310/6038449