标签：特征值复习矩阵 beta 线性代数 alpha 向量 lambda

线性代数

行列式非零$\leftrightarrow$矩阵可逆$\leftrightarrow$方阵满秩$\leftrightarrow$向量组满秩(向量个数等于维数)
证明题记得数学归纳法

行列式

逆序对

行列式的性质

行列式与它的转置行列式相等。
注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。
互换行列式的两行(列),行列式变号。
推论 : 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式。
推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
与矩阵不同，矩阵是所有元素的公因子提取出来，而行列式仅仅是一列或一行。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和。
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。

代数余子式

代数余子式表示注意正负，$i,j$是相对于自己所在的行列式而言，不是拆之前的整体

行列式的计算

矩阵

矩阵的性质

矩阵的转置

$(A^T)^T=A$

$(A+B)^T=A^T+B^T$（除了转置加法都不行）

$(kA)^T=kA^T$

$(AB)^T=B^TA^T$

$|A^T|=|A|$（此时A为方阵）
方阵的行列式

$|kA|=k^n|A|$

$|AB|=|A|*|B|=|BA|$

$|A+B|!=|A|+|B|$
矩阵的乘法

矩阵乘法无交换律和消去律，有结合律和分配律
方阵的乘幂

$A^kA^l=A^{k+l}$

$(A^k)^l=A^{kl}$

不满足$(AB)^k=A^kB^k$
矩阵的可逆

$(A^{-1})^{-1}=A$

$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$

$|A^{-1}|=|A|^{-1}$

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

可逆矩阵

$AA^*=|A|I$

$|A|!=0$ 矩阵可逆（充要条件）

伴随矩阵计算一定要记得转置
初等变换

左边乘的是行初等变换，右边列初等变换

构建增广矩阵求可逆矩阵

矩阵的秩

秩的不等式

设有矩阵$A_{m*n},B_{n*k}$

$r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le min \{r(A),r(B)\}$

$r(A+B)\le r(A)+r(B)\le r(AB)+n$

$n$维向量空间

线性相关

对于给定的一组向量$a_1,a_2,...,a_m$，若存在不全为零的实数$k_1,k_2,...,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+...+k_ma_m=0$，则称该向量组线性相关，否则线性无关。
唯一性定理

设$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m,\beta$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m$唯一地线性表示
性质和结论

单个零向量线性相关，
单个非零向量线性无关。

含有零向量的向量组必相关，
含有成比例的向量的向量组必相关。

若向量组中部分向量相关，则整个向量组相关；
若向量组无关，则它的任何部分向量都无关。

若向量组相关，则去掉一些分量后的向量组仍相关；
若向量组无关，则增加一些分量后的向量组仍无关。

向量组的秩

设向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$可由$ \beta _1,\beta_2,...,\beta_s$线性表示，

若$r>s$，则向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$线性相关。
若$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$线性无关，则$r\le s$

$n+1$个$n$维向量一定线性相关
向量组之间的等价

若向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$与$ \beta _1,\beta_2,...,\beta_s$之间能够相互线性表示，则称这两个向量组等价

任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的

在两个等价的向量组中，各自的极大线性无关组所含的向量个数相等

矩阵的秩等于行秩，等于列秩

设$A$为$m*n$阶矩阵，且$r(A)=r$,则有
- 当$r=m$时，$A$的行向量线性无关；
  当$r<m$时，$A$的行向量线性相关；
- 当$r=n$时，$A$的列向量线性无关；
  当$r<n$时，$A$的列向量线性相关；
若矩阵$A_{m*n}$列满秩，且存在矩阵$B$和$C$，满足$AB=C$，那么$r(B)=r(C)$

若矩阵$A_{m*n}$行满秩，且存在矩阵$B$和$C$，满足$BA=C$，那么$r(B)=r(C)$

空间向量的坐标

坐标：设·$\alpha _1,\alpha_2,...,\alpha_r$为一组基，对任意的向量$\beta \in V$，有$\beta =(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_r\end{pmatrix}$，则称向量$(x_1,x_2,...,x_r)^T$为向量$\beta$关于基$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}$的坐标向量
基变换

$(\beta_1,\beta_2,...,\beta_r)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r)C$，则$C$为基变换的过渡矩阵，也叫基变换矩阵
坐标变换

$C$为过渡矩阵，$X=CY$或$Y=C^{-1}X$

施密特正交化方法

设$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$是向量空间$V$中$r$个线性无关的向量。

正交化

令 $\beta_1=\alpha_1$;

$\beta _2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$

$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$

$...........................$

$\beta_r=\alpha_r-\frac{(\alpha_r,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_r,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-...-\frac{(\alpha_r,\beta_{r-1})}{(\beta_{r-1},\beta_{r-1})}\beta_{r-1}$

则$\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$正交，且与$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$等价

单位化

令$\varepsilon_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|},\varepsilon_2=\frac{\beta_2}{|\beta_2|},...,\varepsilon_r=\frac{\beta_r}{|\beta_r|}$，则$\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_r$标准正交，且与$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$等价

线性方程组

线性方程组有解的判定

对于$AX=b$
当$r(A)!=r(A|b)$ 时，方程组无解
当$r(A)=r(A|b)=n$ 时，方程组有唯一解
当$r(A)=r(A|b)<n$ 时，方程组有无穷多解

特别地，对于齐次线性方程组
一定有零解，
$r(A)=n$只有零解，
$r(A)<n$有非零解

齐次线性方程组

记得加$k_1,k_2,...,k_n$取任意值

其次线性方程组解的维数

设$A$为$m*n$阶矩阵，则齐次线性方程组$AX=0$的解空间$N(A)$的维数为：$dimN(A)=n-r(A)$

设$A$为$m*n$阶矩阵,其秩为$r(A)=r$,则齐次线性方程组$AX=0$的任意$n-r$个线性无关解都是它的基础解系

相似矩阵

特征值

特征值与特征向量

设$A$为$n$阶方阵，如果存在数$\lambda $和$n$维非零向量$X$，使得$AX=\lambda X$，则称数$\lambda$为方阵$A$的特征值，非零向量$X$称为$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量。
特征多项式

由$AX=\lambda X$，有$(\lambda I-A)X=0$，若使该方程组有非零解，则$|\lambda I-A|=0$

$f(\lambda)=|\lambda I-A|$为方阵$A$的特征多项式，$f(\lambda)=|\lambda I-A|=0$为方阵$A$的特征方程

特征多项式的具体形式：$f(\lambda)=|\lambda I-A|=\lambda^n-(\sum_{i=1}^na_{ii}\lambda^{n-1}+b_2\lambda^{n-2}+...+b_{n-1}\lambda+(-1)^n|A|)$

称$\sum_{i=1}^na_{ii}=a_{11}+a_{22}+..+a_{ii}$为$A$的迹，记为$tr(A)$
特征值与特征向量的求解方法
1. 对于$n$阶方阵$A$，求解其特征方程$|\lambda I-A|=0$，得到特征值$\lambda_i(i=1\sim n)$
2. 对于每个特征向量$\lambda_i$，求解齐次线性方程组：$(\lambda I-A)X=0$，则其非零解即为$A$对应特征值$\lambda_i$的特征向量
  
  注意 $k_1^2+k_2^2+...+k_n^2!=0$，不是任意值了
特征值的性质

设$n$阶方阵$A=(a_{ij})_{n*n}$的特征值为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，则有
1. $\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}=tr(A)$
2. $\lambda_1\lambda_2...\lambda_n=|A|$
设$\lambda_0$为$A^T$的特征值，则有
1. $\lambda_0$为$A^T$的特征值
2. $k\lambda_0$为$kA$的特征值$(k!=0)$
3. 若$A$可逆，则$\lambda_0^{-1}$为$A^{-1}$的特征值
若$\lambda_0$为$A$的特征值，$\mu_0$为$B$的特征值，不能推出$\lambda_0+\mu_0$为$A+B$的特征值，和$\lambda_0\mu_0$为$AB$的特征值（特征向量$X$不是同一个）

设$\lambda_0$为$A$的特征值，则有
1. $\lambda_0^k$为$A^k$的特征值
2. $p(\lambda_0)为$$p(A)$的特征值，其中，$p(x)=b_0x^n+b_1x^n+...+b_{n-1}x+b_n$
特征向量的性质

方阵$A$的一个特征值对应的特征向量的非零线性组合仍为该特征值对应的特征向量。

方阵$A$的一个特征值对应的所有特征向量不构成子空间，加上零向量才构成特征子空间

属于不同特征值的特征向量是线性无关的（数学归纳法）。

方阵$A$的$s$个不同的特征值各自所对应的$s$组线性无关的特征向量并在一起仍然是线性无关的

对于$n$阶矩阵$A$，如果$\lambda_0$是$A$的特征方程的$k$重根，则矩阵$A$对应于特征值$\lambda_0$的线性无关的特征向量个数$\le k$

矩阵的相似对角化

相似矩阵

对于$n$阶方阵$A$和$B$，若存在可逆方阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则称$A$与$B$相似，可逆矩阵$P$称为把$A$变成$B$的相似变换矩阵

相似矩阵的性质

若$A\sim B$，

则$r(A)=r(B),|A|=|B|$

$A$与$B$的特征多项式相同，即$|A-\lambda I|=|B-\lambda I|$,从而$A$与$B$有相同的特征值
相似对角化

对于$n$阶方阵$A$，若存在可逆的$n$阶方阵$P$，使得$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}a_1&0&...&0\\0&a_2&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&a_n \end{pmatrix}=\Lambda$，则称$A$可相似对角化

$\Lambda$的主对角线上的元素必须是$A$的全部特征值。
$P$的列向量必须是$A$的线性无关的特征向量。

可相似对角化的条件：$n$阶方阵$A$有$n$个线性无关的特征向量

推论：

$A$的每一个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数必须等于该特征值的重数
如果$n$阶方阵$A$有$n$个不同的特征值，则$A$一定可以相似于对角化

二次型

二次型及其矩阵表示

二次型：含有$n$个变量的二次齐次多项式称为$n$元二次型
二次型的矩阵表示

记$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix},A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{pmatrix}$,其中$A$为对称矩阵（$a_{ij}=a_{ji}$）

记$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(X)$，则二次型的矩阵表示为$f(X)=X^TAX$
线性变换

$X=PY(X->Y)$，如果$P$为可逆矩阵，则称该线性变换为可逆线性变换

二次型的标准形

矩阵的合同

$P^TAP=B$为对$A$进行的合同变换，保秩，保对称

标准形：对角阵；规范形：对角阵对角为1或-1
拉格朗日配方法

配凑出完全平方，若无平方项，则用平方差公式替换出平方项
行列对称初等变换法（合同变换）

对矩阵$A$每进行一次列变换，同时对$A$进行一次相应的行变换，得到$\Lambda$,将列变换施加到$I$上得到$P$

正交变换化二次型为标准形

正交矩阵

设$A$为$n$阶实矩阵，若$A$满足$A^TA=A^TA=I$，则称$A$为正交矩阵

$A^{-1}=A^T$

性质
1. $A^{-1}$为正交矩阵
  $A^T$为正交矩阵
  $|A|=1$或$-1$
  $A$的实特征值为$1$或$-1$
2. 若$A,B$为正交矩阵，则$AB$也为正交矩阵
3. 方阵$A$为正交矩阵的充要条件是$A$的列（行）向量构成标准正交向量组
正交变换

若$P$为正交矩阵，则线性变换$X=PY$称为正交变换

设$X=CY$为线性变换，则下面的命题等价

线性变换$X=CY$为正交变换
在线性变换$X=CY$下，向量的内积不变
线性变换$X=CY$将标准正交基变成标准正交基

意义：经过正交变换后。向量的长度、夹角不变，曲面的形状、大小保持不变

当$P$为正交矩阵时，合同变换就是相似变换
实对称矩阵

$n$阶实对称矩阵$A$的特征值都是实数

$n$阶实对称矩阵$A$的不同特征值所对应的特征向量必正交（同一特征值的不一定）

特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等

$n$阶实对称矩阵$A$，必存在正交矩阵$C$，使得$C^TAC=C^{-1}AC=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&...\\&&&\lambda_n\\\end{pmatrix}$，$C$的列是$A$的$n$个标准正交的特征向量（一定可以对角化（和相似对角化区分））
正交变换化二次型为标准形
1. 求出二次型对应的矩阵$A$的特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$
2. 求出相应的一组线性无关的特征向量$\xi_1,\xi_2,...\xi_n$
3. 将$\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$标准正交化，得到$\eta_1,\eta_2,...\eta_n$（标准正交化的过程只需在矩阵$A$的每个特征值所对应的特征向量之间进行）
4. 令$C=(\eta_1,\eta_2,...\eta_n)$，作正交变换$X=CY$，即得$f(x)->\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny^2_n$

二次型的正定性

惯性定理

给定一个实二次型$f(x)=X^TAX$，经过非退化线性变换化为如下的标准形$f(X)->d_1y_1^2+d_2y^2_2+...+d_py_P^2-d_{p+1}y_{p+1}^2-...-d_{p+q}y^2_{p+q}$，其中正项和负项的项数唯一确定，和等于秩

给定一个实二次型$f(x)=X^TAX$，经过非退化线性变换化为唯一的标准形$f(X)->z_1^2+z^2_2+...+z_P^2-z_{p+1}^2-...-z^2_{p+q}$

对于一个给定的实对称阵，必合同于唯一的对角阵
惯性指数

合同变换保惯性指数、秩、对称，
相似保特征值、特征向量、秩、行列式值，
等价为秩相等
正定二次型与正定矩阵

设$f(X)=X^TAX$为给定的$n$元实二次型，如果对$R^n$中的任意非零向量$X$都有$f(X)>0$，则称$f(X)$为正定二次型，$A$为正定矩阵（A>0）

条件：
1. $X^TAX$>0($X!=0$)
  $f(X)$的正惯性指数为$n$
  $A$的特征值全部大于0
  $A$与单位矩阵$I$合同
2. $A$的顺序主子式全部大于0$(Sylvester定理)$ $D_k=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1k}\\a_{21}&a_{22}&…&a_{2k}\\…&…&…&…\\a_{k1}&a_{k2}&…&a_{kk}\end{vmatrix}>0(k=1,2,...,n)$
  
  有一个对角线元素小于零就不是正定矩阵
  
  证明$A$为正定矩阵：存在正定矩阵$B$，使得$A=B^2$
  设$A$是$n$阶实可逆矩阵，证明：矩阵$A^TA$为正定矩阵；存在一个正交矩阵$P$和一个正定矩阵$S$,使得$A=PS$

标签：特征值,复习,矩阵,beta,线性代数,alpha,向量,lambda
From： https://www.cnblogs.com/xwysyy/p/17093372.html

线性代数复习