平面图

定义

边之间不相交或在端点相交的图。

结论

\(n \geq 3,m \leq 3 \times n-6\) 。

证明

欧拉多面体公式：\(F+V-E=2\) 。

我们考虑两者联系。

显然，将一个简单多面体拍扁可得平面图。

但是

这个过程中简单多面的底面会变成这个平面图的周长所围成的面。

然后我们考虑平面图中的面的数量。

显然因为边不会再不是端点的地方相交。

所以极大简单平面图一定有三角形构成。

而在这其中，每 \(3\) 个边构成一个三角形。

而且每个边会被用到 \(2\) 次。（周长上的边用于构成简单多面体的底面）

所以 \(F \leq 2\times m/3\) 。

而 \(m + 2 - n = F\) 。

所以 \(m + 2 - n \leq 2\times m/3\) 。

所以 \(3 \times m + 6 - 3\times n \leq 2\times m\)。

所以 \(m \leq 3\times n -6\) 。

证毕。