[概率论与数理统计]笔记：2.5 随机变量函数的分布

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2.5 随机变量函数的分布

随机变量函数

对于一个随机变量\(X\)，其取值是不确定的，如果存在一个函数\(g(x)\)，使得随机变量\(X,Y\)满足：

\[Y=g(X), \]

则称随机变量\(Y\)是随机变量\(X\)的函数。

\(X\)的统计规律决定了\(Y\)的统计规律.

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离散型随机变量函数的分布

离散型随机变量\(X\)的函数\(Y=g(X)\)显然还是离散型随机变量。

\(Y\)的概率分布完全由\(X\)的概率分布所确定。

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连续型随机变量函数的分布

设随机变量\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)，分布函数为\(F_X(x)\)。

用函数\(g(x)\)构造随机变量\(Y=g(X)\)，记\(Y\)的密度函数为\(f_Y(x)\)，分布函数为\(F_Y(x)\)。

求解\(Y\)的密度函数的过程可以为：

1. 使用\(F_X(x)\)表示\(F_Y(x)\).
2. 两边求导，得到用\(f_X(x)\)表示的\(f_Y(x)\).

均匀分布

均匀分布线性替换后仍是均匀分布。

例题：

已知\(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)，\(Y=3X+2\)，求\(Y\)的密度函数.

• \(F_X(x)=P\{X\le x\}\)
• \(F_Y(x)=P\{Y\le x\}\)

解：

\(F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{3X+2\le x\}=P\{X\le \frac{x-2}{3}\}=F_X(\frac{x-2}{3})\)

\(F_Y(x)=F_X(\frac{x-2}{3})\)两边求导，得：

\[f_Y(x)=\frac{1}{3}f_X(\frac{x-2}{3}) \]

特别地，如果\(X\)服从区间\([0,4]\)上的均匀分布，且

\[f_X(x)= \left\{ \begin{align*} & \frac{1}{4},\quad\quad 0\le x\le 4, \\ & 0, \quad\quad\quad else, \end{align*} \right. \]

则有

\[f_Y(x)= \left\{ \begin{align*} & \frac{1}{12},\quad\quad 2\le x\le 14,\\ & 0,\quad\quad\quad else, \end{align*} \right. \]

事实上，若\(X\)服从\([a,b]\)上的均匀分布，\(Y=kX+C(k\ne0)\)，则服从相应区间上的均匀分布。

• 当\(k>0\)时，相应区间为\([ka+C,kb+C]\)
• 当\(k<0\)时，相应区间为\([kb+C,ka+C]\)

正态分布

线性

设\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(Y=aX+b(a\ne0)\)。

当\(a>0\)时，\(F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{aX+b\le x\}=P\{X\le\frac{x-b}{a}\}=\varPhi(\frac{x-b}{a})\)

两边都求导，得

\[f_Y(x)=\varphi(\frac{x-b}{a})\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(\frac{x-b}{a}-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}e^{-\frac{(x-(b+a\mu))^2}{2a^2\sigma^2}} \]

再结合\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，两者对比，可得\(Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\).

当\(a<0\)时，过程类似，主要在于不等号的转换。

标准化

当\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\)时，\(Y\sim N(0,1)\)。其实就是一个标准化的过程。

结论：服从正态分布的随机变量经过线性变换后仍然是服从正态分布的。

定理1 \(X\)的密度函数为\(f_X(x)\)，\(Y=kX+b(k\ne0)\)，则\(f_Y(x)=\frac{1}{|k|}f_X(\frac{x-b}{k})\).

非线性

• 若\(X\sim N(0,1),Y=X^2\)，则\(Y\)服从自由度为1的卡方分布，记作\(Y\sim \chi^2(1)\).

• 若\(Y=\ln X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，则称随机变量\(X\)服从参数\(\mu,\sigma^2\)的对数正态分布，记作\(\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

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