\(n\) 维向量
注意到，直接使用集合无法区分元素的顺序，例如
\[\{a,b\}=\{b,a\} \]而且，也无法区分两个值相等但地位不同的对象
\[\{a,a\}=\{a\} \]于是，我们定义有序对的概念
定义4.1 我们称由元素 \(a,b\) 组成的有序对为
\[\{\{a\},\{a,b\}\} \]记作 \((a,b)\) .
可以发现，在有序对中，两个元素的地位是不相同的。基于有序对，我们可以归纳地定义 \(n\) 元组的概念
定义4.2 二元组为由两个元素组成的有序对；现在归纳地假设 \(n-1\) 元组已经被定义，则 \(n\) 元组被定义为
\[(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)=(a_1,(a_2,a_3,\cdots,a_n)) \]其中 \(a_i\) 为 \(n\) 元组所含的元素.
为了下面讨论的方便，我们约定一元组只包含一个元素，记为 \((a)\) .
有了 \(n\) 元组的概念，我们可以讨论向量的概念
定义4.3 我们称由数域 \(K\) 中的 \(n\) 个元素组成的 \(n\) 元组为数域 K 上的一个 \(n\) 维向量，用小写希腊字母表示。其中，在向量
\[\pmb{\alpha}=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n) \]中，称 \(a_i(1\le i\le n)\) 为向量 \(\pmb\alpha\) 的一个分量。
我们还可以定义向量之间的相等关系
定义4.4 设 \(\pmb\alpha=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n),\pmb\beta=(b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n)\) 为两个 \(n\) 维向量，则 \(\pmb\alpha=\pmb\beta\) 当且仅当
\[a_i=b_i,1\le i\le n \]
\(n\) 维向量空间
要讨论数域 \(K\) 上的 \(n\) 维向量空间，首先要对向量之间的运算进行定义
定义4.5 设 \(n\) 维向量
\[\pmb\alpha=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n),\pmb\beta=(b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n) \]则称
\[\pmb\gamma=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\cdots,a_n+b_n) \]为向量 \(\pmb\alpha\) 与向量 \(\pmb\beta\) 的和，记为 \(\pmb\alpha+\pmb\beta=\pmb\gamma\) .
由向量加法的定义，立刻可以推出
\[\begin{aligned} \pmb\alpha+\pmb\beta&=\pmb\beta+\pmb\alpha\\ (\pmb\alpha+\pmb\beta)+\pmb\gamma&=\pmb\alpha+(\pmb\beta+\pmb\gamma) \end{aligned} \]定义4.6 我们称零向量为
\[(0,0,0,\cdots,0) \]记为 \(\mathbf{0}\) ;
设 \(n\) 维向量
\[\pmb\alpha=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n) \]则称向量
\[(-a_1,-a_2,-a_3,\cdots,-a_n) \]为 \(\pmb\alpha\) 的负向量，记为 \(-\pmb\alpha\) .
可以推出，对于任意 \(n\) 维向量 \(\pmb\alpha\) 都有
\[\begin{aligned} \pmb\alpha+\mathbf{0}&=\pmb\alpha\\ \pmb\alpha+(-&\pmb\alpha)=\pmb0 \end{aligned} \]且可以定义向量减法
\[\pmb\alpha-\pmb\beta=\pmb\alpha+(-\pmb\beta) \]另一种运算是数乘
定义4.7 设 \(k\) 为数域 \(K\) 上的元素，向量
\[\pmb\alpha=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n) \]
\[ 为数域 $K$ 上的 $n$ 维向量，则称向量 \](ka_1,ka_2,ka_3,\cdots,ka_n)
\[ 为向量 $\pmb\alpha$ 与数 $k$ 的数量乘积，记为 $k\pmb\alpha$ . \]
可以推出
\[\begin{array}{c} k(\pmb\alpha+\pmb\beta)=k\pmb\alpha+k\pmb\beta\\ (k+l)\pmb\alpha=k\pmb\alpha+l\pmb\alpha\\ k(l\pmb\alpha)=(kl)\pmb\alpha\\ 1\pmb\alpha=\pmb\alpha \end{array} \]此外，还可以推出
\[\begin{array}{c} 0\pmb\alpha=\pmb0\\ (-1)\pmb\alpha=-\pmb\alpha\\ k\pmb0=\pmb0 \end{array} \]若 \(k\ne0,\pmb\alpha\ne\pmb0\) ，则
\[k\pmb\alpha\ne\pmb0 \]现在我们可以定义向量空间
标签：定义,beta,笔记,cdots,pmb,alpha,代数,向量 From： https://www.cnblogs.com/XingMath/p/17030974.html定义4.8 称数域 \(K\) 和数域 \(K\) 上所有 \(n\) 维向量的集合 \(V\) ，以及 \(K\) 和 \(V\) 上的向量加法与数乘运算为数域 \(K\) 上的 \(n\) 维向量空间。