Chapter 1 整数
良序性质（The Well-Ordering Property）：每个非空的正整数集合都有一个最小元。
定义 如果存在整数 \(p\) 和 \(q\ne 0\)，使得 \(r=p/q\)，则称实数 \(r\) 是有理数；如果 \(r\) 不是有理数，则称为无理数。
一些记号：整数集合、正整数集合、有理数集合和实数集合通常被记为 \(\mathbb{Z}\)、\(\mathbb{Z^+}\)、\(\mathbb{Q}\) 和 \(\mathbb{R}\)。
定理 1.1
\(\sqrt 2\) 是无理数。
证明：假设 \(\sqrt{2}\) 为有理数，那么存在正整数 \(a,b\) 使得 \(b\sqrt{2}=a\)，因此，\(S=\{k\sqrt{2}\mid k\in\mathbb{N^+}\land k\sqrt{2}\in\mathbb{N^+}\}\) 是一个非空的正整数集合，由良序性质，\(S\) 有最小元，设其为 \(s=t\sqrt{2}\)。由于 \(s\sqrt{2}=2t\) 和 \(s\) 都是整数，所以 \(s\sqrt{2}-s=s\sqrt{2}-t\sqrt{2}=(s-t)\sqrt{2}\) 也是整数；另一方面，\(s\sqrt{2}-s=s(\sqrt{2}-1)>0\)，所以它是正的；进一步，由于 \(\sqrt{2}-1<2-1=1\)，所以它小于 \(s\) 且 \(\in S\)，但是这与 \(s\) 是 \(S\) 的最小元矛盾，因此 \(\sqrt{2}\) 是无理数。
定义 数 \(a\) 被称为代数数，如果它是整系数多项式的根；也就是说，\(a\) 是代数数，如果存在整数 \(a_0,\cdots,a_n\) 使得 \(a_na^n+a_{n-1}a^{n-1}+\cdots+a_0=0\)；如果数 \(a\) 不是代数数，则称为超越数。
最大整数函数
定义 实数 \(x\) 的最大整数（greatest integer）记作 \([x]\)，是小于或等于 \(x\) 的最大整数，即 \([x]\) 是满足
\[[x]\le x<[x]+1 \]的整数。同时也被称作下取整函数，记号是 \(\lfloor x\rfloor\)。上取整函数记作 \(\lceil x\rceil\)，是大于或等于 \(x\) 的最小整数。
性质一：若 \(n\) 是整数，则对于任意实数 \(x\)，有 \([x+n]=[x]+n\)。
定义 实数 \(x\) 的分数部分（fractional part）记为 \(\{x\}\)，是 \(x\) 与 \([x]\) 的差，即 \(\{x\}=x-[x]\)。
性质一：由于 \([x]\le x<[x]+1\)，所以 \(-1-[x]<-x\le-[x]\)，从而 \(\{x\}-1<0\le \{x\}\)，即 \(0\le \{x\}<1\)。
丢番图逼近
定理 1.2（鸽笼原理）
如果把 \(k+1\) 个或更多的物体放入 \(k\) 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物体。
证明：如果 \(k\) 个盒子中的任意一个都没有多于一个的物体，那么所有物体的总数至多为 \(k\)，矛盾，所以 \(k\) 个盒子中的至少有一个有多于一个的物体。
标签：mathbb,有理数,笔记,数论,整数,实数,sqrt,集合,初等 From： https://www.cnblogs.com/bykem/p/17017858.html