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[概率论与数理统计]笔记:1.2 随机事件的概率

时间:2022-12-31 00:11:59浏览次数:49  
标签:AB 1.2 0.25 overline 数理统计 概率 事件 概率论 Omega

1.2 随机事件的概率

定义

简单定义

概率是随机事件发生的可能性大小的度量(数值)。

频率可以作为概率的估计,但频率的稳定值不能作为概率的定义。

一个事件的概率是由事件本身特征决定的客观存在。

频率的稳定值是概率的外在的必然表现。

公理化定义

设\(\Omega\)是一个样本空间,定义在\(\Omega\)的事件域\(\mathscr{F}\)上的一个实值函数\(P(\cdot)\)称为\(\Omega\)上的一个概率测度,如果它满足下列三条公理:

公理1 \(P(\Omega)=1\);

公理2 对任意事件\(A\),有\(P(A)\ge 0\);

公理3 对任意可数个两两互不相容的事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots,\)有

\[P(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i)=\sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i) \]

其中,对任意给定的具体事件\(A\),函数值\(P(A)\)称为事件\(A\)的概率

一个具有概率测度\(P(\cdot)\)的样本空间\(\Omega\)称为一个概率空间,记作\((\Omega,\mathscr{F},P)\)。

性质

  1. \(P(\varnothing)=0\)

  2. \(P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i)\)

  3. \(P(\overline{A}) = 1-P(A)\)

  4. \(P(A-B) = P(A)-P(AB)\)

  5. \(0\le P(A)\le1\)

  6. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

注:

\(P(A)=0\)不代表事件\(A\)不能发生。

举例:几何概型中,无穷线上取一点,概率为\(\frac{1}{\infty}=0\),却是可能发生的。

常用记法与转换

  • \(B-A=B\overline{A}\)

  • \(B-A=B-AB\)

  • \(B=AB+\overline{A}B\)

例题

已知\(P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A-B)=0.25\),求\(P(AB),P(A\cup B),P(B-A),P(\overline{A}\overline{B})\).

解:

根据性质4,\(P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-P(AB)=0.25\)

所以\(P(AB)=0.4-0.25=0.15\)

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.25-0.15=0.5\)

\(P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.25-0.15=0.1\)

\(P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A+B})\)(德摩根律

\(\quad\quad\quad\ =1-P(A+B)=1-P(A\cup B)=1-0.5=0.5\)

使用教材:
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社

标签:AB,1.2,0.25,overline,数理统计,概率,事件,概率论,Omega
From: https://www.cnblogs.com/feixianxing/p/17016086.html

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