条件概率
定义
设(Ω，f)，P(Ω，f)，P 是一个概率空间，B∈fB∈f，而且P(B)>0P(B)>0，则对任意A∈fA∈f，记：
P(A|B)=P(AB)P(B)
P(A|B)=P(AB)P(B)
并称 P(A|B)P(A|B)为 在事件BB发生的条件下事件AA发生的条件概率（conditional probability）。
若未经特别指出，今后出现条件概率 P(A|B)P(A|B)时，都假定 P(B)>0P(B)>0
P(AB)=P(B)P(A|B)
P(AB)=P(B)P(A|B)
，
这个等式被称为概率的乘法公式或乘法定理。
若还有P(A)>0P(A)>0 ， 则也可定义P(A|B)P(A|B)，这时有
P(AB)−P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
P(AB)−P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
条件概率性质
首先，不难验证条件概率P(A|B)P(A|B)具有概率的三个基本性质：非负性、规范性、完全可加性。
P(A|B)≥0P(A|B)≥0
P(Ω|B)=1P(Ω|B)=1
P(∑∞i=1Ai|B)=∑∞i=1P(Ai|B)P(∑i=1∞Ai|B)=∑i=1∞P(Ai|B)
因此，类似于概率，对条件概率也可由三个基本性质导出其它一些性质，例如：
P(∅|B)=0P(∅|B)=0
P(A|B)=1−P(A¯¯¯¯|B)P(A|B)=1−P(A¯|B)
P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)
特别当B=ΩB=Ω时，条件概率化为无条件概率，因此把一般的概率看作条件概率也可以。
全概率公式
P(B)=∑i=1∞P(Ai)P(B|Ai)
P(B)=∑i=1∞P(Ai)P(B|Ai)
它是概率论的一个基本公式，有着多方面的应用。
贝叶斯公式
若事件BB能且只能与两两互不相容的事件A1,A2,⋯,AnA1,A2,⋯,An之一同时发生，即
P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)∑∞i=1P(Ai)P(B|Ai)
P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)∑i=1∞P(Ai)P(B|Ai)
贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假定A1,A2,⋯A1,A2,⋯是导致试验结果的“原因”，P(Ai)P(Ai)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小。
条件概率P(Ai|B)P(Ai|B)称为后验概率。