5.1 定积分的概念
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定义
定积分是积分的一种，是函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上积分和的极限
若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 有界，在 \([a, b]\) 上任意插入 \(n\) 个分点将区间分为 \(n\) 个小区间 \(\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\)。在每个小区间上都任取一点 \(\xi_i\)
记 \(\lambda=\max\{\Delta x_1, \Delta x_2, ..., \Delta x_n\}\)
那么 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的定积分 \(\int_{a}^{b} f(x)dx=\lim \limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i\) -
定积分只与被积函数与积分区域有关系，与积分变量无关：\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt\)
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函数连续即可积；若函数有界，且有有限个间断点，那么也可积
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定积分的几何意义
若在 \([a, b]\) 上
\(f(x)\geq 0\)：函数 \(f(x)\) 的图像，直线 \(x=a, x=b\) 与 \(x\) 轴围成的面积
\(f(x)\leq 0\)：\(...\) 围成的面积的相反数
\(f(x)\) 有正有负：\(f(x)\geq 0\) 的部分形成的面积减去 \(f(x)\leq 0\) 的部分形成的面积 -
用定义求定积分
求 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)
将 \([0, 1]\) 等分成 \(n\) 份，则 \(\Delta x=\frac{1}{n}, \xi_i=\frac{i}{n}\)
\(\int_{0}^{1}x^2 dx=\lim \limits_{n\to \infty} \sum \Delta x f(\xi_i)=\lim \limits_{n\to \infty} \sum \frac{1}{n}(\frac{i}{n})^2=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^3}\sum i^2=\lim \limits_{n\to \infty}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{1}{3}\)