高等代数笔记【2】行列式的性质

性质2.1

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots &a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots &a_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \]

证明：记左侧行列式为 \(|A|\) ，右侧为 \(|A^T|\) . 由定理1.3知

\[\begin{equation}\nonumber\begin{aligned} |A|&=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \\&=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)}a_{j_11}a_{j_22}\cdots a_{j_nn} \\&=|A^T|\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\Box \end{aligned}\end{equation} \]

由这个定理可以知道，行列式中行和列是等价的，因此，下列性质只针对行进行证明，列的情况是相同的。

性质2.2 对换行列式的两行(列)，行列式值相反。

证明：设行列式为 \(|A|\) ,对换 \(i,k(i<k)\) 两行后的行列式为 \(|A^{\prime}|\) ，则

\[|A|=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \]

\[|A^{\prime}|=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n} (-1)^ {\tau(j_1j_2j_3\cdots j_k\cdots j_i\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{ij_k}\cdots a_{kj_i}\cdots a_{nj_n} \]

由对换改变奇偶性知

\[(-1)^{\tau(j_1j_2j_3\cdots j_n)}=-(-1)^ {\tau(j_1j_2j_3\cdots j_k\cdots j_i\cdots j_n)} \]

带入上式得

\[\quad\qquad\qquad|A|=|A^{\prime}|\qquad\qquad\Box \]

性质2.3 行列式的一行(列)乘 \(k\) ，行列式的值也乘 \(k\) ，即

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \]

证明：

\[ \begin{align} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} &=\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n} (-1)^{ \tau(j_1j_2j_3\cdots j_n) } { a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots ka_{ij_i}\cdots a_{nj_n} }\\\nonumber &=k\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n} (-1)^{ \tau(j_1j_2j_3\cdots j_n) } { a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} }\\\nonumber &=k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix}\qquad\qquad\Box\end{align} \]

性质2.4 若行列式的一行(列)都为 \(0\) 那么行列式的值也为 \(0\) .

证明：运用性质2.3直接证得。 \(\Box\)

性质 2.5

\[\nonumber\begin{align}\nonumber&\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1}+b_{i_1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \\\nonumber =& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix}\end{align} \]

证明：

\[\nonumber\begin{align}\nonumber&\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1}+b_{i_1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} \\\nonumber=& \sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{ \tau(j_1j_2j_3\cdots j_n) } a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots(a_{ij_i}+b_{ij_i})\cdots a_{nj_n}\\\nonumber =&\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{ \tau(j_1j_2j_3\cdots j_n) } a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{ij_i}\cdots a_{nj_n}\\\nonumber &+\sum_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(-1)^{ \tau(j_1j_2j_3\cdots j_n) } a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots b_{ij_i}\cdots a_{nj_n} \\\nonumber =& \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \end{vmatrix}\Box\end{align} \]

性质2.6 行列式两行(列)成比例，行列式等于 \(0\) .

证明：只需证明两行(列)相同的情况，然后再运用性质2.3即可。

设行列式 \(|A|\) 的第 \(i,j\) 行相等，则对换这两行，行列式不变，即

\[|A|=|A^{\prime}| \]

其中 \(|A^{\prime}|\) 指对换后的行列式。而根据性质2.2，又有

\[|A|=-|A^{\prime}| \]

于是得到了 \(|A|=0\) \(\Box\)

性质2.7 行列式中的一行(列)乘 \(k\) 加到另一行(列)上，行列式的值不变.

证明：先运用性质2.5，再运用性质2.6即可。 \(\Box\)

性质2.7

\[\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ 0&0&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_{nn}\\ \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}a_{33}\cdots a_{nn} \]

证明：考虑乘积 \(a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}\) ，在第 \(n\) 行除了 \(a_{nn}\) 都是 \(0\) ，要使乘积不为 \(0\) ,则 \(j_n\) 必须取 \(n\) .与此同时，\(j_{n-1}\) 无法取 \(n\) ，只能取 \(n-1\) ，以此类推，故不为 \(0\) 的乘积只有 \(a_{11}a_{22}a_{33}\cdots a_{nn}\) ，且这项的系数为 \((-1)^{\tau(123\cdots n)}=1\) . \(\Box\)