几何学基础

这学期［22秋］我担任王老师的几何学基础的助教之一，在大家正式开始学习这门课前，先介绍一下这门课程之前还是4学分时盛茂老师的教学内容和注意事项（课程讲义是盛老师与王老师共同完成的，以下部分可能会有不讲的，也可能会有新增的，仅供参考）：

第一部分，几何史与公理化。这部分的内容看起来比较简单，也有很多故事性的成分，不过，最重要的是公理化的思想：如何用最少的“限定”所给出我们常见的三维欧氏空间的性质？这样的定义与另一套之前或许接触过的“向量”系统是否能很好地“相容”？从这套性质出发能否得到熟悉的完整体系？从欧几里德到希尔伯特的故事中，可以看到公理化过程的发展。此外，通过这部分的学习，也应掌握严谨书写证明的能力（每一步都有据可依）。

第二部分，平面（解析）几何。这部分的要点是几何与代数的连接。点和直线如何与数和方程对应？几何操作如何与向量运算对应？变换如何与矩阵运算对应？变换群是什么？不同种类的变换对应的变换群是怎样的？值得注意的是，这里有一些复杂的细节操作与证明（例如引入内积时），但个人认为这些证明并不是掌握的重点，最重要的还是建立好联系（Tips：学好代基^_^）。克莱因的观点中，几何是研究变换群作用下不变的性质，而接下来的过程则是对此给出具体的例子：

第三部分，刚体变换。刚体变换——平移、旋转、翻折可能是我们最熟悉的变换，而它保持的性质也就是我们最常见的“形状”与“大小”（矩阵的角度具体是什么保持了形状/大小，将在线性代数中学到，具体来说，矩阵的行列式决定了大小的变化，而形状的变化则可以由分离出正交阵［即旋转翻折对应的矩阵］得到较简单的形式）。由于事实上在中学的学习中，我们已经接触到了不少刚体变换的操作，这一块的学习不会太过困难。不过，将这些熟悉的操作与并不熟悉的矩阵相匹配时，还是会存在难度，这里推荐3Blue1Brown的线性代数系列视频（B站可以搜到），应该几乎覆盖了这一块的代数相关。

第四部分，二次曲面分类。这事实上是利用代数去研究几何的一个很好的例子，藉由代数上对三元二次多项式的刚体变换处理与分类得到几何上对三维空间中二次曲面的处理与分类。虽然涉及的知识不算太难，但是代数的处理并不简单，也需要一定的基本功。多算几个具体的情况可能是比较好的选择，而比起死记硬背十几类二次曲面是什么，更应注意分类后将每类视为相同的“等价类”思想。（事实上，二次曲面的分类是在仿射变换的意义下的等价类，仿射变换可以看作刚体变换与伸缩的复合。）

第五部分，射影变换。从刚体与欧氏平面走到射影经历了一个“自然”的想法——平行直线交于无穷远点。然而，想要从这件事出发建立完整的几何理论是一个十分困难的事。在这段，会学习到射影直线、射影平面、齐次坐标系等一系列新概念，也是课程相对最困难的部分。想要学好这一部分，有三件事非常重要：首先，虽然射影平面很难有整体的直观，但我们可以建立“局部”的直观，将它看成欧氏平面添加一些东西（事实上，其可以看成三个欧氏平面叠加，这也就是基础的流形思想），从而先在局部进行理解。其次，回到代数去，射影几何就是研究射影变换群下不变性质的几何（课程中也会学到，“交比”会成为所期待的不变性质）。当无法从直观上处理时，解方程或许是个不错的选择，也或许能从解的结果中发现性质。第三，“等价类”的思想。我们所操作的“点”可以看成是一列坐标，每次操作都是对其整体进行操作。因此，在遇到问题时，要熟悉对“良好定义”的考虑（也就是说，同一个等价类的东西在操作后不会分离到两个等价类中）。

第六部分，从射影的角度重新看平面几何。射影平面上有一个非常特殊的性质，即点线对偶。任何两不同点有且仅有一条直线同时经过，任何两不同直线有且仅有一个交点，将点与直线对应转换后，能得到互相等价的两个命题。因此，有些问题通过对偶原理得到的另一表述可能更加简洁。另一方面，将欧氏平面看成射影平面的一部分后，通过将“有共同交点”变换为“相互平行”，之前看起来复杂且困难的比例问题可能变得简单，比如有些同学可能在竞赛中接触过的调和点列的一系列问题。再比如，如果在射影平面中进行二次曲线的分类，会得到一个优美的结论：非退化二次曲线（椭圆/双曲线/抛物线）在射影空间中是同一类，并且对应着圆与无穷远直线相离/相交/相切。

第七部分，拓扑基础。某种意义上，拓扑是研究连续变换下不变性质的学科，关心的是最广义角度的“连续性”。在数学分析A2中涉及的平面上的开集闭集等，是拓扑在欧氏平面上的具体表现。这一部分没有太多硬核内容，主要是科普与一些有趣的拓扑性质（如欧拉示性数），算是对之后拓扑学课程的一个小小的先导。

如果说从这门课程中能学到什么，除了上述知识与思想外，还有一个非常重要的东西：对“直观”理解与思考。从刚体变换到射影变换再到连续变换，变换所能保持的良好性质越来越少，我们也越来越难建立直观。某种意义上，学几何学是为了培养直观，也是为了摆脱直观。从笛卡尔引入坐标系起，“直观”的图形变成了“不直观”的方程式，有些结论却变得更加简洁。在大家苦于高考解析几何的暴算时，不妨想想，如果没有这样清晰的计算工具，如何研究椭圆？当矩阵变换下，很多性质都无法确定时，我们为了得到最终结果，还是需要“抽象”的代数。另一方面，直观仍然重要，因为它可以带来对一些结论的敏感。哪怕是代数中，很多时候为了建立理解，都要举出很多例子，为的就是让某个抽象的定理更加“直观”。几何中更是如此，我们希望射影平面可以部分当作欧氏平面处理，就是因为可以在欧氏平面中画出具体的图形，更好体会结论。所以，这门课程中几何与代数的结合，或许也是在构建一个直观与抽象间的平衡。

另一个值得提醒的是，这门课被有的同学戏称为「线性代数A0」，足见其线代含量。如果轻视了矩阵和相关的处理技巧，也很难把这门课学好（这也是为什么上方推荐了线性代数相关的视频）。其中涉及的最难部分大概在二次型对角化（二次曲面分类）处，到时候可能会根据讲课情况补充一些前置知识。

王作勤老师，人称火箭，一直都是以极高的课程质量与相对困难的内容闻名数院（但考试应该不会为难大家，给分也非常好）。目前，我还并不清楚老师准备讲述哪些内容（个人推测以上的部分是会覆盖的），不过，不管怎么说，希望和大家一起进行这一个学期的学习后，能对几何产生更深的认识（也能和我一起喜欢上