\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
( https://www.zxxk.com/docpack/2875423.html)
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)
选择性第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
极值的概念
若在点\(x=a\)附近的左侧\(f'(x)<0\)，右侧\(f'(x)>0\)， 则\(a\)称为函数\(y=f(x)\)的极小值点，\(f(a)\)称为函数\(y=f(x)\)的极小值；
若在点\(x=b\)附近的左侧\(f'(x)>0\)，右侧\(f'(x)<0\)，则\(b\)称为函数\(y=f(x)\)的极大值点，\(f(b)\)称为函数\(y=f(x)\)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
解释
① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图；
② 极值是“函数值\(y\)”，极值点是“自变量\(x\)值”，如下图有极大值\(f(-1)\)和\(f(1)\)，极小值\(f(-2)\)和\(f(2)\)，极大值点\(-1\)和\(1\)，极小值点\(-2\)和\(2\).
③ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质；
④ 对于极值还有特别强调一下，看例题：
【例】设\(x_0\)是函数\(y=f(x)\)的极值点，则下列说法准确的是( )
A. 必有\(f'(x_0 )=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad\) B.\(f'(x_0 )\)不存在
C. \(f'(x_0 )=0\)或\(f'(x_0 )\)不存在 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(f'(x_0 )\)存在但可能不为\(0\)
解析 函数\(f(x)=x^3\)，
\(f'(x)=3x^2\)，\(f'(0)=0\)，
但\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)；\(x>0\)时，\(f'(x)>0\)；
故根据极值的定义，\(0\)不是函数\(f(x)=x^3\)的极值点，这个从函数图象也很容易知道.
又如函数\(g(x)=|x|\)，
当\(x<0\)时，\(g'(x)=-1<0\)； 当\(x>0\)时，\(g'(x)=1>0\)；
所以\(g(x)\)在\(x=0\)处取到极值，但在导数不存在；故选\(C\).
总结
① 若\(f(x)\)可导，且\(x_0\)是\(y=f(x)\)的极值，则\(x_0\)是\(f'(x)=0\)的解；
② 若\(x_0\)是\(f'(x)=0\)的解，\(x_0\) 不一定是\(y=f(x)\)的极值点；
③ 定义很重要.
【例】判断\(x=0\)是否\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2\)的极大值点.
解 \(\because f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2\)，\(\therefore f'(x)=x^2-2x\)，
当\(x>0\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)；
所以\(x=0\)是\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2\)的极大值点.
求函数的极值的方法
解方程\(f'(x)=0\) ，当\(f'(x_0)=0\)时：
(1) 如果在\(x_0\)附近的左侧\(f'(x)>0\)，右侧\(f'(x)<0\)，那么\(f(x_0)\)是极大值；
(2) 如果在\(x_0\)附近的左侧\(f'(x)<0\)，右侧 \(f'(x)>0\)，那么\(f(x_0)\)是极小值．
基本方法
【题型1】 极值的概念
【典题1】(多选)设函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，\(x_0 (x_0≠0)\)是\(f(x)\)的极大值点，以下结论错误的是( )
A．\(∀x∈R\)，\(f(x)≤f(x_0)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-x_0\)是\(f(-x)\)的极小值点
C．\(-x_0\)是\(-f(x)\)的极小值点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-x_0\)是\(-f(-x)\)的极小值点
解析 \(A\)．\(∀x∈R\)，\(f(x)≤f(x_0)\)，错误．\(x_0 (x_0≠0)\)是\(f(x)\))的极大值点，并不是最大值点；
\(B\)．\(-x_0\)是\(f(-x)\)的极小值点，错误．\(f(-x)\)相当于\(f(x)\)关于\(y\)轴的对称图象，故\(-x_0\)应是\(f(-x)\)的极大值点；
\(C\)．\(-x_0\)是\(-f(x)\)的极小值点，错误．\(-f(x)\)相当于\(f(x)\)关于\(x\)轴的对称图象，故\(x_0\)应是\(－f(x)\)的极小值点．跟\(-x_0\)没有关系；
\(D\)．\(-x_0\)是\(-f(-x)\)的极小值点，正确．\(-f(-x)\)相当于\(f(x)\)先关于\(y\)轴的对称，再关于\(x\)轴的对称图象．故\(D\)正确．
故选：\(ABC\)．
点拨 结合图象分析.
【典题2】若函数 \(f(x)=x^3-\left(\dfrac{a}{2}+3\right) x^2+2 a x+3\)在\(x=2\)处取得极小值，则实数\(a\)的取值范围是( )
A．\((-∞，-6)\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\((-∞，6)\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\((6，+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\((-6，+∞)\)
解析 \(f(x)=x^3-\left(\dfrac{a}{2}+3\right) x^2+2 a x+3\)，
则\(f'(x)=3x^2-(a+6)x+2a\)，
由题意得：\(f'(2)=0\)，即\(12-2a-12+2a=0\)，\(f'(2)\)恒为\(0\)，
\(\because f(2)\)是极小值，\(\therefore x<2\)时，函数单调递减，\(x>2\)时，函数单调递增，
结合二次函数的性质\(f'(x)\)的对称轴在\(x=2\)的左侧，
即\(\dfrac{a+6}{6}<2\)，故\(a<6\)，
又\(△=(a+6)^2-24a=(a-6)^2>0\)，故\(a<6\)，
故选：\(B\)．
点拨 本题依题意得\(f'(2)=0\)，由于等式恒成立，求不出\(a\)，则利用极值的概念求出\(a\)的取值范围.
【巩固练习】
1.已知函数\(y=f(x)\)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．\(-4\)是函数\(f(x)\)的极小值点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-1\)是函数\(f(x)\)的极小值点
C．函数\(f(x)\)在区间\((-4，1)\)上单调递减 \(\qquad \qquad\) D．函数\(f(x)\)在区间\((-4，-1)\)上先增后减
2.函数\(f(x)=4x^3-ax^2-2bx+2\)在\(x=1\)处有极值，则\(a+b\)的值等于( )
A．\(9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)
3.已知函数\(f(x)=x^3+2ax^2+bx+a^2\)在\(x=1\)处的极小值为\(6\)，则数对\((a，b)\)为( )
A．\((-2，5)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-19，4)\) \(\qquad \qquad\) C．\((4，-19)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-2，5)\)或\((4，-19)\)
4.(多选)已知函数\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3+x^2-2ax+1\)，当实数\(a\)为下列( )的值时，函数\(f(x)\)在\((1，2)\)上有极值．
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(4\)
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 结合导函数的图象，可知\(f(x)\)在\((-∞，-4)\)单调递减，在\((-4，+∞)\)单调递增，
所以\(-4\)是函数\(f(x)\)的极小值点，故\(A\)正确；
\(-1\)不是\(f(x)\)的极值点，故\(B\)错误；
函数\(f(x)\)在区间\((-4，1)\)上单调递增，故\(C\)错误；
函数\(f(x)\)在区间\((-4，-1)\)上单调递增，故\(D\)错误；
故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 函数\(f(x)=4x^3-ax^2-2bx+2\)在\(x=1\)处有极值，可知\(f'(1)=0\)，
而\(f'(x)=12x^2-2ax-2b\)，故\(12-2a-2b=0\) ，故\(a+b=6\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 由\(f(x)=x^3+2ax^2+bx+a^2\)，得\(f'(x)=3x^2+4ax+b\)，
\(\because f(x)\)在\(x=1\)处的极小值为\(6\)，\(\therefore f'(1)=0\)且\(f(1)=6\)，
\(\therefore 3+4a+b=0\)且\(1+2a+b+a^2=6\)，
\(\therefore a=-2\)，\(b=5\)或\(a=4\)，\(b=-19\)，
经检验当\(a=-2\)，\(b=5\)时，\(f(x)\)在\(x=1\)处取不到极小值\(6\)，
\(\therefore a=4\)，\(b=-19\)， \(\therefore\)数对\((a，b)\)为\((4，-19)\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(BC\)
解析 \(f'(x)=x^2+2x-2a\)，
因为函数\(f(x)\)在\((1，2)\)上有极值，所以\(f'(x)=0\)在\((1，2)\)上有根，
所以\(y=f'(x)\)在\((1，2)\)上有变号零点，
又因为\(f'(x)=x^2+2x-2a\)，在\((1，2)\)上单调递增，
所以\(\left\{\begin{array}{l} f^{\prime}(1)=3-2 a<0 \\ f^{\prime}(2)=8-2 a>0 \end{array}\right.\)，解得\(\dfrac{3}{2}<a<4\)，
故选：\(BC\)．
【题型2】 不含参函数的极值
【典题1】 已知曲线\(f(x)=ax^3-bx^2+2\)在点\((1，f(1))\)处的切线方程为\(y=1\)．
(1)求\(a\)、\(b\)的值；\(\qquad \qquad\) (2)求\(f(x)\)的极值．
解析 (1)由函数的解析式可得\(f'(x)=3ax^2-2bx\)，
由切线方程可知切点坐标为\((1，1)\)，切线的斜率为\(0\)，
从而有 \(\left\{\begin{array}{l}
f(1)=a-b+2=0 \\
f^{\prime}(1)=3 a-2 b=0
\end{array}\right.\)，求解方程组可得 \(\left\{\begin{array}{l}
a=2 \\
b=3
\end{array}\right.\)，
故\(a=2\)，\(b=3\)．
(2)由题意可得\(f(x)=2x^3-3x^2+2\)，\(f'(x)=6x^2-6x\)，
当\(x∈(-∞，0)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
当\(x∈(0，1)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，
当\(x∈(1，+∞)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
故函数的极大值为\(f(0)=2\)，函数的极小值为\(f(1)=1\)．
点拨 求函数极值先求函数单调性，解题步骤与思路差不多；借助导函数的“穿线图”更好得到结论.
【巩固练习】
1.下列函数中，不存在极值点的是( )
A．\(y=x+ \dfrac{1}{x}\) \(\qquad \qquad\) B． \(y=2^{|x|}\) \(\qquad \qquad\) C．\(y=x⋅\ln x\) \(\qquad \qquad\) D．\(y=-2x^3-x\)
2.函数\(y=1+3x-x^3\)有( )
A．极小值\(-1\)，极大值\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．极小值\(-1\)，极大值\(3\)
C．极小值\(-2\)，极大值\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．极小值\(2\)，极大值\(3\)
3.函数\(f(x)=\cos 2x+\sin x\)，\(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)\)的极值点为\(x_0\)，则\(\tan x_0\)的值为( )
A．\(\dfrac{\sqrt{15}}{15}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\sqrt{15}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
4.已知函数\(f(x)=a\ln x- \dfrac{1}{2} x^2\)，\((a∈R)\)在\(x=1\)处的切线与直线\(y=x+1\)平行．
(1)求实数a的值；\(\qquad \qquad\) (2)求函数\(f(x)\)的极值．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(y=x+ \dfrac{1}{x}\)，\(x=-1\)时，函数取得极大值，\(x=1\)时，函数取得极小值，所以\(A\)不正确；
\(y=2^{|x|}\)是偶函数，\(x=0\)时，函数取得极小值，所以\(B\)不正确；
\(y=x⋅\ln x\)可得\(y'=\ln x+1\)， \(x>\dfrac{1}{e}\)时，\(y'>0\)，函数是增函数，
\(x \in\left(0， \dfrac{1}{e}\right)\)时，\(y'<0\)，函数是减函数，\(x=\dfrac{1}{e}\)时，函数取得极小值，所以\(C\)不正确．
\(y=-2x^3-x\)，可得\(y'=-6x^2-1<0\)恒成立，函数是减函数，
所以函数没有极小值，所以\(D\)正确．
故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 \(y'=3-3x^2\)，
令\(y'=0\)，解得\(x=±1\)，
\(x∈(-∞，-1)\)，\((1，+∞)\)时，\(y'<0\)，\(x∈(-1，1)\)时，\(y'>0\)，
\(\therefore\)函数\(y=1+3x-x^3\)有在\((-∞，-1)\)，\((1，+∞)\)上递减，在\((-1，1)\)递增，
\(\therefore x=1\)，函数取得极大值\(1+3×1-1^3=3\)，
\(x=-1\)时，函数取得极小值\(1+3×(-1)-(-1)^3=-1\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(A\)
解析 函数\(f(x)=\cos 2x+\sin x\)，\(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)\)，
所以 \(f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x+\cos x=\cos x(1-4 \sin x)\)，
令\(f'(x)=0\)，\(\cos x(1-4\sin x)=0\)，
因为\(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)\)，所以\(\cos x≠0\)，
所以\(1-4\sin x=0\)，即\(\sin x= \dfrac{1}{4}\)，
因为函数\(f(x)=\cos 2x+\sin x\)，\(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)\)的极值点为\(x_0\)，
所以\(\sin x_0= \dfrac{1}{4}\)， \(\cos x_0=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\)， \(\therefore \tan x_0=\dfrac{\sqrt{15}}{15}\)，
故选：\(A\)． -
答案 (1) \(a=2\)；(2) 极大值为\(\ln 2-1\)，无极小值．
解析 (1)由题意可知，\(f'(1)=1\)，
\(\because f^{\prime}(x)=\dfrac{a}{x}-x\)，\(\therefore f'(1)=a-1=1\)，\(\therefore a=2\)．
(2) \(\because f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x}-x=\dfrac{2-x^2}{x}\)，
\(\therefore f'(x)>0⇒0<x<\sqrt{2}\)，\(f'(x)<0⇒x>\sqrt{2}\)，
即函数\(f(x)\)在\((0，\sqrt{2})\)上单调递增，在\((\sqrt{2}，+∞)\)上单调递减，
故函数\(f(x)\)的极大值为\(f(\sqrt{2})=2\ln \sqrt{2}-1=\ln 2-1\)，无极小值．
【题型3】含参函数的极值
【典题1】讨论函数\(f(x)=e^x-2ax-a\)的极值.
解析 \(f'(x)=e^x-2a\)，
当\(a≤0\)时，\(f'(x)= e^x-2a>0\)，\(f(x)\)在\(R\)上为单调增函数，无极值，
当\(a>0\)时，
由\(f'(x)= e^x-2a>0\)，\(x>\ln (2a)\)，\(f(x)\)在\((\ln (2a)，+∞)\)上为单调增函数，
由\(f'(x)= e^x-2a<0\)，\(x<\ln (2a)\)，\(f(x)\)在\((-∞，\ln (2a))\)上为单调减函数，
所以 \(f_{\text {极小值 }}=f(\ln (2 a))=a-2 a \ln (2 a)\)，无极大值．
综上所述：当\(a≤0\)时，无极值，
当\(a>0\)时， \(f_{\text {极小值 }}=a-2 a \ln (2 a)\)，无极大值.
【巩固练习】
1.讨论\(f(x)=x^3-ax^2+2\)的极值.
2.讨论\(f(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2} x^2+ax(a∈R)\)的极值点的个数.
参考答案
-
答案 当\(a≤0\)时，\(f(x)\)无极值；当\(a>0\)时，极小值\(-\dfrac{4 a^3}{27}+2\)，无极大值．
解析 定义域\(x∈(0，+∞)\)，\(f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)\)，
当\(a≤0\)时，\(f'(x)≥0\)，\(f(x)\)在\((0，+∞)\)上单增，无极值，
当\(a>0\)时， \(f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow x>\dfrac{2 a}{3}\)，
\(\therefore f(x)\)单减区间是\(\left(0， \dfrac{2 a}{3}\right)\)，单增区间是\(\left(\dfrac{2 a}{3}，+\infty\right)\)，
所以 \(f(x)_{\text {极小 }}=f\left(\dfrac{2 a}{3}\right)=-\dfrac{4 a^3}{27}+2\)，无极大值．
综上所述，当\(a≤0\)时，\(f(x)\)无极值；当\(a>0\)时，极小值\(-\dfrac{4 a^3}{27}+2\)，无极大值． -
答案 当\(a≥-2\)时，函数\(f(x)\)无极值点；当\(a<-2\)时，\(f(x)\)有两个极值点.
解析 由题意得： \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}+x+a=\dfrac{x^2+a x+1}{x}(x>0)\)，
令\(f'(x)=0\)，即\(x^2+ax+1=0\)，\(△=a^2-4\)，
①当\(△=a^2-4≤0\)，即\(-2≤a≤2\)时，
\(x^2+ax+1≥0\)对任意的\(x>0\)恒成立，
即\(f^{\prime}(x)=\dfrac{x^2+a x+1}{x} \geq 0\)对任意\(x>0\)恒成立，此时\(f(x)\)没有极值点；
②当\(△=a^2-4>0\)，即\(a<-2\)或\(a>2\)时，
若\(a<-2\)，设方程的两根不同实根\(x_1\)，\(x_2\)，
不妨设\(x_1<x_2\)，
则\(x_1+x_2=-a\)，\(x_1 x_2=1>0\)，故\(x_2>x_1>0\)，
当\(0<x<x_1\) 或\(x>x_2\)时，\(f'(x)>0\)，
当\(x_1<x<x_2\)时，\(f'(x)<0\)，
故\(x_1\)，\(x_2\)是函数\(f(x)\)的两个极值点．
若\(a>2\)，设方程\(x^2+ax+1=0\)的两个不同的实根\(x_1\)，\(x_2\)，
则\(x_1+x_2=-a<0\)，\(x_1 x_2=1\)，故\(x_1<0\)，\(x_2<0\)，
所以当\(x>0\)时，\(f'(x)>0\)，故函数\(f(x)\)没有极值点，
综上当\(a≥-2\)时，函数\(f(x)\)无极值点；当\(a<-2\)时，\(f(x)\)有两个极值点.
分层练习
【A组---基础题】
1.已知函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\)，函数\(g(x)=(x-1)f'(x)\)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．\(f(x)\)在\((-∞，-2)\)，\((1，2)\)上为减函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f(x)\)在\((-2，1)\)，\((2，+∞)\)上为增函数
C．\(f(x)\)的极小值为\(f(-2)\)，极大值为\(f(2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f(x)\)的极大值为\(f(-2)\)，极小值为\(f(2)\)
2.函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2+\ln x-2x\)的极值点的个数是( )
A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．无数个
3.若函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-x+a\ln x\)有两个不同的极值点，则实数\(a\)的取值范围是( )
A．\(a> \dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(- \dfrac{1}{4}<a<0\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(a< \dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(0<a< \dfrac{1}{4}\)
4.已知函数\(f(x)=x\ln x+x^2\)，且\(x_0\)是函数\(f(x)\)的极值点．给出以下几个问题：
①\(x_0> \dfrac{1}{e}\)；②\(0<x_0< \dfrac{1}{e}\)；③\(f(x_0 )+x_0<0\)；④\(f(x_0 )+x_0>0\)
其中正确的命题是( )
A．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
5.已知函数\(f(x)=x^3+3ax^2+1(a<0)\)，\(f(x)\)极小值点为\(x_0\)，若\(f(x_1 )=f(x_0 )\)且\(x_1≠x_0\)，则\(x_1⋅f(x_1+x_0 )\)的最小值为( )
A．\(- \dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(- \dfrac{3}{8}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(\dfrac{3}{8}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． \(\dfrac{3}{4}\)
6.若函数\(f(x)=m\cdot e^x-x^2+2x(m<0)\)在\((0，1)\)上有极值点，则\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.设\(x_1\)和\(x_2\)是函数\(f(x)=x^3+2ax^2+x+1\)的两个极值点．若\(x_2-x_1=2\)，则\(a^2=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
8.设函数\(f(x)=2x^3+3x^2+ax+b\)，曲线\(y=f(x)\)在点\((0，f(0))\)处的切线方程为\(y=-12x+1\)．
(1)求\(f(x)\)的解析式；\(\qquad \qquad\) (2)求\(f(x)\)的极值．
9.设\(a\)为实数，函数\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3- \dfrac{1}{2}(a-1)x^2-ax(x∈R)\)．
(1)当\(a=1\)时，求\(f(x)\)的单调区间；
(2)求\(f(x)\)在\(R\)上的极大值与极小值．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 当\(x∈(-∞，-2)\)时，\(x-1<0\)，由图象可得\(g(x)=(x-1)f'(x)<0\)，
则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)为增函数；
当\(x∈(-2，1)\)时，\(x-1<0\)，由图象可得\(g(x)=(x-1)f'(x)>0\)，
则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)为减函数；
当\(x∈(1，2)\)时，\(x-1>0\)，由图象可得\(g(x)=(x-1)f'(x)<0\)，
则\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)为减函数；
当\(x∈(2，+∞)\)时，\(x-1>0\)，由图象可得\(g(x)=(x-1)f'(x)>0\)，
则\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)为增函数，
所以\(f(x)\)的极大值为\(f(-2)\)，极小值为\(f(2)\)，
结合选项可知，只有选项\(D\)正确．
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 \(f^{\prime}(x)=x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{(x-1)^2}{x} \geqslant 0\)，
故原函数单调递增，\(f(x)\)无极值点．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 因为\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-x+a\ln x\)有两个不同的极值点，
所以\(f^{\prime}(x)=x-1+\dfrac{a}{x}=\dfrac{x^2-x+a}{x}=0\)在\((0，+∞)\)有\(2\)个不同的零点，
所以\(x^2-x+a=0\)在\((0，+∞)\)有\(2\)个不同的零点，
所以\(\left\{\begin{array}{l} \triangle=1-4 a>0 \\ a>0 \end{array}\right.\)，解可得，\(0<a< \dfrac{1}{4}\)．
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析\(f(x)\)的定义域为\(x>0\)，\(f'(x)=\ln x+2x+1\)，
所以有$f'(x_0 )=\ln x_0+2x_0+1=$0，
所以有\(2x_0=-(\ln x_0+1)>0\)，即\(\ln x_0<-1\)，
即 \(\ln x_0<\ln e^{-1}\)，所以有\(0<x_0< \dfrac{1}{e}\)；故①错误，②正确；
\(f(x_0 )+x_0=x_0 \ln x_0+x_0^2+x_0=x_0 (\ln x_0+x_0+1)\)，
因为\(2x_0=-(\ln x_0+1)\)，
所以有\(f(x_0 )+x_0=x_0 \ln x_0+x_0^2+x_0=x_0 (\ln x_0+x_0+1)=-x_0^2<0\)，
故③正确，④错误．
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 \(f'(x)=3x^2+6ax=3x(x+2a)\)，
\(\because a<0\)，
当\(x>-2a\)或\(x<0\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增，
当\(0<x<-2a\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减，
故极小值点为\(x_0=-2a\)，
由\(f(x_1 )=f(x_0 )=1+4a^3\)可得\(x_1=a\)，
则\(x_1⋅f(x_1+x_0 )=af(-a)=a(2a^3+1)=2a^4+a\)，
设\(g(a)=2a^4+a(a<0)\)，\(g'(a)=8a^3+1\)，
当\(a \in\left(-\infty，-\dfrac{1}{2}\right)\)，\(g'(a)<0\); \(a \in\left(-\dfrac{1}{2}，+\infty\right)\)，\(g'(a)>0\)
所以\(g(a)\)在\(\left(-\infty，-\dfrac{1}{2}\right)\)上单调递减，在\(\left(-\dfrac{1}{2}，+\infty\right)\)上单调递增，
故\(g(a)_{\min }=g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{8}\)．
故选：\(B\)． -
答案 \((-2，0)\)
解析 \(f'(x)=m\cdot e^x-2x+2(m<0)\)，
所以\(f'(x)\)在\((0，1)\)上为减函数，
所以\(\left\{\begin{array}{l} f^{\prime}(0)=m+2>0 \\ f^{\prime}(1)=m e<0 \end{array}\right.\)，解得\(-2<m<0\)，
故答案为：\((-2，0)\)． -
答案 \(3\)
解析 \(\because\)函数\(f(x)=x^3+2ax^2+x+1\)， \(\therefore f'(x)=3x^2+4ax+1\)，
又\(x_1\)和\(x_2\)是函数\(f(x)=x^3+2ax^2+x+1\)的两个极值点，
则\(x_1\)和\(x_2\)是方程\(3x^2+4ax+1=0\)的两根，
故 \(x_1+x_2=-\dfrac{4 a}{3}\)， \(x_1 \cdot x_2=\dfrac{1}{3}\)，
又\(x_2-x_1=2\)，则\((x_1-x_2 )^2=(x_1+x_2 )^2-4x_1 x_2=4\)，
即 \(\dfrac{16 a^2}{9}-\dfrac{4}{3}=4\)，则\(a^2=3\). -
答案 (1)\(y=2x^3+3x^2-12x+1\)；(2) 极大值\(21\)， 极小值\(-6\).
解析 (1)\(f'(x)=6x^2+6x+a\)， \(k_{\text {切 }}=f^{\prime}(0)=a\)，
又因为切线方程为\(y=-12x+1\)，
所以 \(k_{\text {切 }}=-12\)，得\(a=-12\)，
因为切点在切线上也在曲线上，
所以\(\left\{\begin{array}{l} f(0)=-12 \times 0+1=1 \\ f(0)=b \end{array}\right.\)，所以\(b=1\)，
所以\(f(x)\)的解析式为\(y=2x^3+3x^2-12x+1\)．
(2)\(f(x)\)定义域为\(R\)，\(f'(x)=6x^2+6x-12\)
令\(f'(x)=0\)得，\(x=-2\)或\(1\)，
所以在\((-∞，-2)\)，\((1，+∞)\)上单调递增，在\((-2，1)\)上单调递减，
所以\(f(x)_{\text {极大值 }}=f(-2)=21\)， \(f(x)_{\text {极小植 }}=f(1)=-6\)． -
答案 (1) 在\((-∞，-1)\)，\((1，+∞)\)上单调递增，在\((-1，1)\)上单调递减；
(2) 当\(a=-1\)时，无极值；当\(a>-1\)时，极大值为\(\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}\)，极小值为\(-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2\)；
当\(a<-1\)时，极小值为\(\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}\)，极大值为\(-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2\)．
解析 (1)当\(a=1\)时，\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x\)，\(\therefore f'(x)=x^2-1\)，
令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)，或\(x=-1\)，
当\(f'(x)>0\)时，即\(x>1\)，或\(x<-1\)时，函数为增函数，
当\(f'(x)<0\)时，即\(-1<x<1\)，函数为减函数，
\(\therefore f(x)\)\(在(-∞，-1)\)，\((1，+∞)\)上单调递增，在\((-1，1)\)上单调递减；
(2) \(f'(x)=x^2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1)\)，
令\(f'(x)=0\)，解得\(x=-1\)或\(x=a\)，
①当\(a=-1\)时，\(f'(x)⩾0\)恒成立，\(\therefore f(x)\)单调递增，函数无极值，
②当\(a>-1\)时，
当\(f'(x)>0\)时，即\(x>a\)，或\(x<-1\)时，函数为增函数，
当\(f'(x)<0\)时，即\(-1<x<a\)，函数为减函数，
\(\therefore\)当\(x=-1\)时，函数有极大值，极大值为\(f(-1)=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}(a-1)+a=\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}\)，
当\(x=a\)时，函数有极小值，极小值为\(f(a)=\dfrac{1}{3} a^3-\dfrac{1}{2}(a-1) a^2+a^2=-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2\)，
③当\(a<-1\)时，
当\(f'(x)>0\)时，即\(x>-1\)，或\(x<a\)时，函数为增函数，
当\(f'(x)<0\)时，即\(a<x<-1\)，函数为减函数，
\(\therefore\)当\(x=-1\)时，函数有极小值，极小值为\(f(-1)=\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}\)，
当\(x=a\)时，函数有极大值，极大值为\(f(a)=-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2\)．
综上所述，当\(a=-1\)时，无极值；
当\(a>-1\)时，极大值为\(\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}\)，极小值为\(-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2\)；
当\(a<-1\)时，极小值为\(\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}\)，极大值为 \(-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2\)．
【B组---提高题】
1.(多选)如图，已知直线\(y=kx+m\)与曲线\(y=f(x)\)相切于两点，则\(F(x)=f(x)-kx\)有( )
A．\(1\)个极大值点，\(2\)个极小值点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)个零点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．\(0\)个零点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2\)个极小值点，无极大值点
2.已知函数\(f(x)=e^x-a\sin x\)在区间 \(\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)\)上有极值，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
3.讨论函数\(f(x)=x\ln x- \dfrac{1}{2} x^2+(a-1)x(a∈R)\)的极值点的个数.
参考答案
-
答案 \(AC\)
解析 由原图可知，\(k<0\)，\(m>0\)，设原图中的两切点横坐标为\(a\)，\(b\)．
再在同一坐标系中做出\(y=f(x)\)与\(y=kx\)的图象如图：
由图可知，\(y=f(x)\)与\(y=kx\)没有公共点，
故函数\(F(x)\)没有零点．
直线\(x=n\)与\(y=f(x)\)、\(y=kx\)分别交于点\(A\)、\(B\)，
则\(F(x)\)的函数值可以理解为线段\(AB\)长度；
由图可知：当\(x∈(-∞，a)\)时，\(F(x)\)单调递减；当\(x∈(a，c)\)，\(F(x)\)单调递增；
当\(x∈(c，b)\)时，\(F(x)\)单调递减；当\(x∈(b，+∞)\)时，\(F(x)\)单调递增．
故\(a\)，\(b\)是函数\(F(x)\)的极小值点，\(c\)是\(F(x)\))的极大值点．
故选：\(AC\)．
-
答案 \(\left(1，2 e^{\frac{\pi}{3}}\right)\)
解析 \(f(x)=e^x-\operatorname{asin} x\)， \(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)\)，
则\(f'(x)=e^x-a\cos x\)
由题意得\(e^x-a\cos x=0\)在 \(\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)\)上有解，
即\(a=\dfrac{e^x}{\cos x}\)在 \(\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)\)上有解，
记\(a=\dfrac{e^x}{\cos x}\)， \(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)\)，
则\(g^{\prime}(x)=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{\cos ^2 x}\)，
当\(x \in\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)递增，
而\(g(0)=1\)， \(g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 e^{\frac{\pi}{3}}\)，故 \(1<a<2 e^{\frac{\pi}{3}}\). -
答案 当\(a≤1\)时，\(f(x)\)没有极值点；当\(a>1\)时，\(f(x)\)有\(2\)个极值点．
解析 \(f'(x)=\ln x-x+a\)， \(f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\)，
当\(x∈(0，1)\)时，\(f'' (x)>0\)，\(f'(x)\)单调递增；
当\(x∈(1，+∞)\)时，\(f'' (x)<0\)，\(f'(x)\)单调递减，
所以当\(x=1\)时，\(f'(x)\)有极大值，\(f'(1)=a-1\)，
当\(a≤1\)时，\(f'(1)≤0\)，
所以\(f(x)\)在\((0，+∞)\)上单调递减，此时\(f(x)\)无极值，
当\(a>1\)时，\(f'(1)=a-1>0\)，
\(f^{\prime}\left[\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}\right]=\ln \left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}-\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}+a\)\(=-a-1-\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}+a=-1-\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}<0\)，
易证\(x>1\)时，\(e^x>2x\)，
所以\(a>1\)，\(f'(e^a)=2a-e^a<0\)，
故存在\(x_1\)，\(x_2\)满足\(0<( \dfrac{1}{e})^{a+1}<x_1<1<x_2<e^a\)，\(f'(x_1)=f'(x_2)=0\)，
当\(x∈(0，x_1)\)时，\(f(x)\)单调递减，当\(x∈(x_1，x_2)\)时，\(f(x)\)单调递增，
当\(x∈(x_2，+∞)\)时，\(f(x)\)单调递减，
所以\(f(x)\)在\(x=x_1\)处有极小值，在\(x=x_2\)处有极大值．
综上所述，当\(a≤1\)时，\(f(x)\)没有极值点；当\(a>1\)时，\(f(x)\)有\(2\)个极值点．
【C组---拓展题】
1.已知函数 \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}+k(\ln x-x)\)，若\(x=1\)是函数\(f(x)\)的唯一极值点，则实数\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案\((-∞，e]\)
解析 \(\because\)函数 \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}+k(\ln x-x)\)的定义域是\((0，+∞)\)，
\(\therefore f^{\prime}(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}+\dfrac{k(1-x)}{x}=\dfrac{\left(e^x-k x\right)(x-1)}{x^2}\) ，
\(x=1\)是函数\(f(x)\)的唯一一个极值点，
\(\therefore x=1\)是导函数\(f'(x)=0\)的唯一根，
\(\therefore e^x-kx=0\)在\((0，+∞)\)无变号零点，
令\(g(x)=e^x-kx\)，则\(g'(x)=e^x-k\)，
①\(k≤0\)时，\(g'(x)>0\)恒成立，\(g(x)\)在\((0，+∞)\)时单调递增，
\(g(x)\)的最小值为\(g(0)=1\)，\(g(x)=0\)无解，
②\(k>0\)时，\(g'(x)=0\)有解，为：\(x=\ln k\)，
\(0<x<\ln k\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，
\(\ln k<x\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，
\(\therefore g(x)\)的最小值为\(g(\ln k)=k-k\ln k\)，
\(\therefore k-k\ln k>0\)，\(\therefore k<e\)，
画出函数\(y=e^x\)和\(y=ex\)的图象，如图示：
由\(y=e^x\)和\(y=ex\)图象，它们切于\((1，e)\)，
综上所述\(k≤e\)，
故答案为：\((-∞，e]\)．