复习期间解了部分题目，未来可能更新完整。
引用链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/14447946.html
[S03] 设\(V=M_n(\mathbb{C})\)是n阶复方阵全体构成的集合.
（1）将\(V\)看成是复线性空间，\(V\)上的线性变化\(\varphi\)定义为\(\varphi(X)=JX\)，其中\(J\)是基础循环矩阵，试求\(\varphi\)的全体特征值和对应的特征向量；
（2）将\(V\)看成是实线性空间，\(V\)上的线性变化\(\varphi\)定义为\(\varphi(X)=\overline{X}\)，其中\(\overline{X}\)是\(X\)的共轭矩阵，试求\(\varphi\)的全体特征值和对应的特征向量.
注：\(J = \pmatrix{0&I_{n-1}\\1&0}\)
解：
（1）令\(|\lambda I - J|=\lambda^n -1 = 0\)，解得\(\lambda_j = \omega_j = cos(\frac{2j\pi}{n})+isin(\frac{2j\pi}{n})，(j = 1,2,...,n)\)为\(J\)的\(n\)个互不相同的特征值，其中，i是虚数单位.
容易验证列向量\(\alpha_j = (1,\omega_j,\omega_j^2,...,\omega_j^{n-1})^{\prime}，(j =1,...,n)\)是\(J\)关于特征值\(\lambda_j\)的特征向量，因此它们线性无关，构成\(\mathbb{C}^n\)的一组基.
定义\(X_{jk} =\pmatrix{0,...,0,\alpha_j,0,...,0} (j= 1,...,n;k=1,...,n)\)，其中k指该矩阵只有第k个列向量是非零的。容易验证这是\(n^2\)个线性无关的复矩阵，因此构成\(V\)的一组基.
又容易验证\(\varphi(X_{jk}) = \lambda_jX_{jk}\)，因此这\(n^2\)个向量恰好是\(\varphi\)的\(n^2\)个线性无关的特征向量，\(\varphi\)的全体特征值就是\(\lambda_j,(j=1,...n)\)
（2）定义\(E_{jk}\)为第\(j\)行第\(k\)列元素为\(1\)，其余元素皆为\(0\)的矩阵. 则\(E_{jk},iE_{jk}\)恰好是\(\varphi\)的\(2n^2\)个线性无关的特征向量. （注意：将\(V\)视为实线性空间时它的维数是\(2n\)）.其余易证.\(\square\)
[S05] 设\(V = M_n(\mathbb{C})\)是\(n\)阶复方阵全体构成的复线性空间，\(V\)上的线性变换\(\varphi\)定义为\(\varphi(X)=JX^{\prime}J^{\prime}\)，其中\(J\)是基础循环矩阵（定义同S03），证明：\(\varphi\)可对角化.
证：与 https://www.cnblogs.com/little-epsilon/p/16590200.html 很相似，将\(\alpha_1,...,\alpha_n\)取成\(J\)的n个线性无关的特征向量即可。\(\square\)
[S08] 设\(V\)是数域\(\mathbb{K}\)上的\(n\)维线性空间，\(\varphi\)是\(V\)上的线性变换.证明：若\(\varphi\)有\(r\)维不变子空间，则\(\varphi\)必有\(n-r\)维不变子空间.
证：
由条件可知存在\(V\)上的一组基，使得\(\varphi\)在这组基下的表示矩阵为\(M = \begin{pmatrix}A&B \\ 0&C\end{pmatrix}\)
由于\(M\)和\(M^{\prime}\)有相同的行列式因子，因此它们相似，故有另外一组基，使得\(\varphi\)的表示矩阵为\(M^{\prime} = \begin{pmatrix}A^{\prime}&0 \\ B^{\prime}&C^{\prime}\end{pmatrix}\)
由于\(C^{\prime}\)是一个\(n-r\)阶矩阵，因此\(\varphi\)有一个\(n-r\)维不变子空间.\(\square\)
[S09] 设\(A,B\)是\(n(n\ge 2)\)阶方阵，已知\(AB\)的\(Jordan\)标准型为\(J_n(0)\)，试求\(BA\)的\(Jordan\)标准型，并举例说明其存在性.
解：
由条件可知\(AB\)的极小多项式为\(m(\lambda) = \lambda^n\)，\((BA)^{n+1} = B(AB)^{n}A = 0\)，则\(BA\)极小多项式\(n(\lambda)|\lambda^{n+1}\)，所以\(n(\lambda) = \lambda^k\)，k为正整数
假设\((BA)^{n-2} = 0\)，则\((AB)^{n-1} = A(BA)^{n-2}B = 0\)，与\(AB\)的极小多项式为\(m(\lambda)\)矛盾！因此\(n(\lambda) = \lambda^{n-1}或\lambda^{n}\)
这两种情况分别对应\(BA\)的\(Jordan\)标准型为\(J_n(0)\)和\(\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&J_{n-1}(0)\end{pmatrix}\)
前者举例\(A = J_n(0)，B = I_n\)即可，后者举例\(A = J_n(0)，B = diag\{0,1,...,1\}\)即可
注：第二个例子是在第一个例子的基础上想出来的，仅仅是将单位阵的第一个\(1\)改为了\(0\).\(\square\)