一，极限
1. 极限的定义
如果一个变量 \(y\) 能够无限趋近于一个常量 \(a\) ，那么就可以说 \(y\) 的极限是 \(a\) 。
无限趋近是指：\(y\) 在变化过程中不断逼近 \(a\) ，且 \(|y-a|\) 最终能小于任何给定的正常数。
感觉有点抽象。举个例子吧。
考虑反比例函数 \(y=\frac1x\) 。观察图象可知，当 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时，\(y\) 无限趋近于 \(0\) 。
因此 \(y=\frac1x\) 在 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时的极限为 \(0\) 。用数学语言表示为：
\[\lim_{x\to \infty}\dfrac1x = 0 \]下面给出一个基于定义的证明。
（当然，这个证明非常没有营养，实际做题时，这种简单的极限还是应该直接看出答案）
一方面，\(y=\frac1x\) 在 \((0,+\infty)\) 上单调减，且恒大于 \(0\) ，那么当 \(x\) 趋于 \(+\infty\) 时 \(y\) 不断逼近 \(0\) 。
另一方面，考虑一个给定的正常数 \(c\) ，显然 \(x\) 在趋于 \(+\infty\) 的变化过程中，最终一定会超过 \(\frac1c\) 。
此时，\(x>\frac1c\) ，那么 \(y<c\) 。也就是说 \(|y-0|\) 可以小于任何给定的正常数。
这样就证明了：\(x\) 趋于 \(+\infty\) 时，\(y\) 无限趋近于 \(0\) 。
2. 常用极限
虽然说是常用极限，但入门阶段其实也用不到几次。（
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1 \]\[e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x \]（第二个是自然常数 \(e\) 的定义式）
证明略，有兴趣可以自己查。
二，导数
1. 导数的定义
可以类比瞬时速度（速率）。
车速表上显示的速度，并不是真正的瞬时速度，而是取了一段很短的时间内的平均速度 \(\overline v\)，近似代替瞬时速度。
显然，间隔时间 \(\Delta t\) 越小，\(\overline v\) 的近似效果越好。
理论上说，我们可以直接让 \(\Delta t\) 趋于 \(0\)，此时 \(\overline v\) 的极限即为瞬时速度。
用 \(v(t),s(t)\) 表示瞬时速度 \(v\) 和总路程 \(s\) 关于 \(t\) 的函数，则：
\[v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} \]类似地，对于函数 \(y=f(x)\)，我们定义其导数为：
\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]\(f'(x)\) 是一个关于 \(x\) 的函数。通常可以根据 \(f(x)\) 的解析式求出 \(f'(x)\) 的解析式。
下面先展示一下导数的具体计算方法。关于导数的实际应用，可以再往后翻。
2. 导数的计算
其实并不知道怎么组织内容。
因为这篇文章偏向于实际应用，所以就列举一些例题好了。
\[\begin{aligned} (kx+b)' &= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{k(x+\Delta x)+b-kx-b}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{k\Delta x}{\Delta x} \\ &= k \end{aligned}\]例 2.2.1. 求 \(kx+b\) 的导数（其中 \(k,b\) 为常数）。
因此 \(f'(x)=k\) 。
可以注意到，一次项 \(kx\) 求导后保留其系数 \(k\) ；常数项 \(b\) 消失，即求导后结果为 \(0\) 。
所以本题可以做一个简单的推广：\((kf(x)+b)'=kf'(x)\) 。
\[\begin{aligned} (x^3)' &= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0}{x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0}3x^2+3x\Delta x+(\Delta x)^2 \\ &= 3x^2 \end{aligned}\]例 2.2.2. 求 \(x^3\) 的导数。
注意最后一步，带 \(\Delta x\) 的两项 \(3x\Delta x\) 和 \((\Delta x)^2\) 直接舍掉了，因为 \(\Delta x\) 趋于 \(0\) 时它们的极限也是 \(0\) 。
最终结果是 \((x^3)'=3x^2\) 。
可以推广得到幂函数的求导法则：\((x^n)'=nx^{n-1}\) 。
证明比较难，不说了。
例 2.2.3. 已知关于 \(x\) 的函数 \(f(x),g(x)\) ，求证：\((f(x)\cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) 。
这个就是函数相乘的求导法则。可简记为“前导后不导 加 后导前不导”。下面是证明。
\[\begin{aligned} (f(x)\cdot g(x))'&=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x} \\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{aligned}\]顺便写一下函数四则运算的求导法则。
加粗是因为这个要背，并且要能熟练运用。
设 \(f(x),g(x)\) 是关于 \(x\) 的函数，则：
\[\begin{aligned} (f+g)'&=f'+g' \\ (f-g)'&=f'-g' \\ (f\cdot g)'&=f'g+fg'\\ \left(\dfrac fg\right)'&=\dfrac{f'g-fg'}{g^2} \end{aligned}\]证明略。
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