文章目录
- 一、依概率收敛
- 二、大数定律
- 1. 切比雪夫大数定律
- 2. 伯努利大数定律
- 3. 辛钦大数定律
- 三、中心极限定理
一、依概率收敛
- 定义:设随机变量
与随机变量序列
,如果对任意的
,有
则称随机变量序列依概率收敛于随机变量
,记为
- 注:以上定义中将随机变量
写成数
二、大数定律
- 在满足一定的条件下,所有大数定律的结论均为:随机变量均值依概率收敛到均值的期望,即:
- 大数定律的意义在于:期望是一个确定的数,不是变量,大数定律体现了随机变量均值的稳定性,在大样本的情况下,随机变量均值趋于某稳定常数。
1. 切比雪夫大数定律
- 假设
是相互独立的随机变量序列,如果方差
存在且一致有上界,即存在常数
,使
对一切
均成立,则
服从大数定律
即 随机变量均值依概率收敛到自己的期望 - 条件
- 随机变量序列相互独立
- 方差一致有上界
2. 伯努利大数定律
- 假设
是n重伯努利实验中事件A发生的次数,在每次试验中事件A方式的概率为
,则
,即对于任意
,有
- 说明
- 伯努利试验(Bernoulli experiment)是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验,其特点是该随机试验只有两种可能结果:发生或者不发生。抛硬币就是一种伯努利试验
- n重伯努利实验就是重复做n次伯努利试验。
- 这个定律就是形式化地描述了一个现象:随机事件发生的频率依概率收敛到概率
3. 辛钦大数定律
- 假设
是独立同分布的随机变量序列,如果
存在,则
,即对于任意
,有
即 随机变量均值依概率收敛到自己的期望 - 条件
- 随机变量相互独立
- 随机变量同分布
- 随机变量期望存在
三、中心极限定理
- 所有中心极限定理其实在说这样一件事:若随机变量序列
独立同分布,它们服从分布
, 有
,则
,再标准化后服从标准正太分布,即
- 两种常见的中心极限定理
- 这里定理四就是构造了标准化正态分布,在大样本情况下满足标准正态分布的分布函数
- 定理五就是指定了一个二项分布,二项分布可以拆开成n个两点分布