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概率论 —— 大数定律与中心极限定理

时间：2022-11-22 10:36:55浏览次数：43

标签：概率定律定理大数概率论随机变量伯努利

文章目录

一、依概率收敛
二、大数定律

1. 切比雪夫大数定律
2. 伯努利大数定律
3. 辛钦大数定律

三、中心极限定理

一、依概率收敛

定义：设随机变量 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差$ 与随机变量序列 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_02$ ，如果对任意的 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_03$ ，有
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_04$
则称随机变量序列 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_05$ 依概率收敛于随机变量 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差$ ，记为
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_07$
注：以上定义中将随机变量 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差$ 写成数 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_09$

二、大数定律

在满足一定的条件下，所有大数定律的结论均为：随机变量均值依概率收敛到均值的期望，即：
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_10$
大数定律的意义在于：期望是一个确定的数，不是变量，大数定律体现了随机变量均值的稳定性，在大样本的情况下，随机变量均值趋于某稳定常数。

1. 切比雪夫大数定律

假设 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_11$ 是相互独立的随机变量序列，如果方差 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_12$ 存在且一致有上界，即存在常数 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_13$ ，使 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_14$ 对一切 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_15$ 均成立，则 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_16$ 服从大数定律
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_17$
即 随机变量均值依概率收敛到自己的期望
条件

随机变量序列相互独立
方差一致有上界

2. 伯努利大数定律

假设 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_18$ 是n重伯努利实验中事件A发生的次数，在每次试验中事件A方式的概率为 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_19$ ，则 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_20$ ，即对于任意 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_21$ ，有
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_22$
说明

伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。抛硬币就是一种伯努利试验
n重伯努利实验就是重复做n次伯努利试验。

这个定律就是形式化地描述了一个现象：随机事件发生的频率依概率收敛到概率

3. 辛钦大数定律

假设 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_23$ 是独立同分布的随机变量序列，如果 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_24$ 存在，则 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_25$ ，即对于任意 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_21$ ，有
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_27$
即 随机变量均值依概率收敛到自己的期望
条件

随机变量相互独立
随机变量同分布
随机变量期望存在

三、中心极限定理

所有中心极限定理其实在说这样一件事：若随机变量序列 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_16$ 独立同分布，它们服从分布 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_29$ ，有 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_方差_30$ ，则 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_31$ $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_中心极限定理_32$ ，再标准化后服从标准正太分布，即
$概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_33$
两种常见的中心极限定理

这里定理四就是构造了标准化正态分布，在大样本情况下满足标准正态分布的分布函数
定理五就是指定了一个二项分布，二项分布可以拆开成n个两点分布 $概率论 —— 大数定律与中心极限定理_大数定律_34$

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