2023-李艳芳三套卷-数学三

2023-李艳芳3(3)-1

这张卷子寄了（doge）T₁₈ 定义域看错了，T₂₁ 漏解了，T₂₂ \(p_2\) 的积分积错了，亏麻了属于是

T₅ 通过正交变换的几何意义理解（见2023-李艳芳3(1)-1）

T₇ \(A\) 对称/正定，则 \(A^*\) 对称/正定；反过来，\(A^*\) 对称/正定，推不出 \(A\) 对称（如 \(r(A)=1\)）/正定（如 \(A=diag(-1,\,-1,\,-1)\)）

T₉ 好像和区间估计没什么关系，就是 \(P\left\{|\overline{X}-\mu|\leqslant\dfrac{\mu\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\) 罢了

T₁₀ 第一步 \(\hat{\theta}=\dfrac{\overline{X}}2\)，第二步 \(E(\hat{\theta})=\dfrac12E(\overline{X})=\dfrac12E(X)=\theta,\,D(\hat{\theta})=\dfrac14D(\overline{X})=\dfrac1{4n}D(X)=2\theta^2\)，按步骤做就好，不要乱

T₁₁ 求 \(y=f(x)\) 与 \(y=g(x)\) 公共切线：一般来说，未必切于公共点，只是这里恰好如此罢了。\(F(x)=g(x)-f(x)\)，即公共切点满足 \(F^{'}(x)=0\)

• 可证明 \(F^{'}(x)\) 单调增，而 \(F^{'}(1)=0,\,F(1)=0\)，故 \(g(x)\geqslant f(x)\)，当仅当 \(x=1\) 时取等号，这唯一公共点处两曲线也相切

T₁₂ \(f(x)\) 值域 \([1,\,+\infty)\)，故 \(\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=|f(x)|^a=f^a(x)\Rightarrow\dfrac{\mathrm{d}f}{f^a}=\mathrm{d}x\)，且已知 \(f(0)=1\)

• 若 \(a=1\)，则 \(\ln f=x+C\Rightarrow f=\mathrm{e}^x\)，定义域 \([0,\,c)\)，值域 \([1,\,\mathrm{e}^c)\)，不符，舍
• 若 \(a\neq1\)，则 \(\dfrac{f^{1-a}}{1-a}=x+C\Rightarrow f^{1-a}=(1-a)x+1\)
  • 若 \(a>1\)，则 \(1-a<0\)，\(\dfrac1{f^{a-1}}=(1-a)x+1\in(c-ac+1,\,1]\)，要使得值域为 \([1,\,+\infty)\)，首先就要 \(c-ac+1=0\)，即 \(a=1+\dfrac1c\)，此时 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow c^-}f=\lim_{x\rightarrow c^-}[(1-a)x+1]^{1-a}=\lim_{x\rightarrow c^-}\left(-\dfrac1cx+1\right)^{-\tfrac1c}=\mathrm{e}^{\lim_{x\rightarrow c^-}-\tfrac{\ln (1-\tfrac xc)}{c}}=+\infty\)，值域确实取到了 \([1,\,+\infty)\)
  • 若 \(a<1\)，则 \(1-a>0\)，\(f^{1-a}=(1-a)x+1\in[1,\,c-ac+1)\)，\(f\in[1,\,\sqrt[1-a]{c-ac+1})\)，值域有上界，不符，舍
• 综上，当仅当 \(a=1+\dfrac1c\) 的时候，值域为 \([1,\,+\infty)\)
• 所以这道题，如果 \(c\) 是常数，那么 \(a\) 的取值范围只有 \(\left\{1+\dfrac1c\right\}\)，如果是 \(\exist\ c>1\)，那么取值范围才是 \((1,\,2)\)
• 如果是存在 \(c\) 的问题，那么也可以通过反函数来做。\(f(x)\) 单调增加，有反函数 \(g(x)\)，则 \(g(x)\) 定义域 \([1,\,+\infty)\)，值域 \([0,\,c)\)

T₁₇ 两个抛物线只有一个公共点，公共点处肯定相切（填空题做麻了，忘了这事了。。）

T₁₈ 看！清！积！分！区！域！

T₁₉ \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac1{n^2}\left[\sum_{i=0}^nf\left(\dfrac in\right)\right]\left[\sum_{j=0}^ng\left(\dfrac jn\right)\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac1{n^2}\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nf\left(\dfrac in\right)g\left(\dfrac jn\right)\)，不过这种题目既然拆开了，分成两个一重积分不就好了

• 毕竟数三没有三重积分吧。。。

T₂₁ 其实对于任意阶方阵，若 \(AB=BA\)，且 \(A,\,B\) 可逆。则设 \(A\alpha=\lambda\alpha\)，有 \(A(B\alpha)=\lambda(B\alpha)\)，结合 \(B\alpha\neq 0\)，可知 \(\alpha\) 也是 \(B\) 的特征向量

• 所以总有 \(Q^TAQ=\Lambda_1,\,Q^TBQ=\Lambda_2\)，但 \(\Lambda\) 中特征值的排列就不确定了