第五节 极限运算法则

  本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限

定理1: 两个无穷小的和是无穷小。
  用数学归纳法可证：有限个无穷小之和也是无穷小

定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
  推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
  推论2: 有限个无穷小的乘积是无穷小.

定理3: 如果 \(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\),那么:
(1) \(\lim[f(x)±g(x)]=\lim f(x)± \lim g(x)=A\pm B\).

(2) \(\lim[f(x)·g(x)]=\lim f(x)·\lim g(x)=A\cdot B\).
  推论1: 如果 \(\lim f(x)\) 存在，而 c 为常数，那么
  \(\qquad \lim[cf(x)]=c\lim f(x)\).
  推论2: 如果 \(\lim f(x)\) 存在，而 n 是正整数，那么
  \(\qquad \lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n\).

(3)若又有 \(B≠0\), 则
\(\qquad \Large\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}\)

定理3中的(1)、(2)可推广到有限个函数的情形.

定理4: 设有数列 \({x_n}\) 和 \({y_n}\). 如果
\(\qquad \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}x_n=A, \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}y_n = B\)
那么
(1) \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}(x_n\pm y_n)=A\pm B;\)

(2) \(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B;\)

(3) 当 \(y_n \neq 0(n=1, 2, \cdots)且B\neq 0时，\Large \underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}\)

定理5: 如果 \(φ(x)≥ψ(x)\), 而 \(\lim φ(x)=A, \limψ(x)=B\) 那么 \(A≥B\).