欧拉函数
欧拉函数：
在数论中，对正整数 \(N\)，欧拉函数 \(\varphi (N)\) 是小于等于 \(N\) 的正整数中与 \(N\) 互质的数的数目。
若正整数 \(N\) 被唯一分解为 \(N = p_1^{c_1}p_2^{c_2} \dots p_m^{c_m}\)，其中 \(c_i\) 都是正整数，\(p_i\) 都是质数，且满足 $p_1 < p_2 < \dots < p_m $，则：
\[\varphi(N) = N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2}) \dots (1-\frac{1}{p_m}) \]欧拉函数公式的证明思路（容斥原理）：
- 从 \(1\) ~ \(n\) 中去除 \(p_1, p_2, ..., p_k\) 的所有倍数。\(1\) ~ \(n\) 中 \(p_k\) 的倍数有 \(\frac{N}{p_k}\) （整除）个
- 因为所有 \(p_i * p_j\) 的倍数被减了两次，所以加上所有 \(p_i * p_j\) 的倍数
- 同理，减去所有 \(p_i * p_j * p_k\) 的倍数
以此类推...
我们不难发现欧拉公式展开后便是上式
该算法的时间复杂度瓶颈主要在于分解质因数，之前的文章分析过分解质因数的时间复杂度为 \(O(\sqrt{N})\)，因此，利用上述公式求欧拉函数的时间复杂度是 \(O(\sqrt{N})\)
用公式求欧拉函数
题目链接：AcWing 873. 欧拉函数
本题 \(1 \leq n \leq 100\), \(1 \leq a_i \leq 2×10^9\)，则时间复杂度为 \(n * \sqrt{a_i}\)，约在四百万到五百万之间，可以接受
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n -- ) {
int a;
cin >> a;
int res = a;
for (int i = 2; i <= a / i; i ++ )
if (a % i == 0) {
// 由于不能出现小数，所以转换公式 res = res * (1 - 1 / i)
res = res / i * (i - 1);
while (a % i == 0) a /= i;
}
if (a > 1) res = res / a * (a - 1);
cout << res << endl;
}
return 0;
}
用筛法求欧拉函数
某些情况下，我们需要求出 \(1～N\) 中每一个数的欧拉函数，在这种情况下用公式来做的话，每个数都需要进行分解质因数，时间复杂度变为 \(O(N\sqrt{N})\) ，效率低下。此时我们可以借助之前学习过的线性筛法求质数，用 \(O(N)\) 的时间复杂度计算出每一个数的欧拉函数。
- 当 \(i\) 是质数时，\(\varphi(i) = i - 1\)
- 当
i % primes[j] == 0时，primes[j]是i的一个质因子，则i * primes[j]与i具有相同的质因子\[\varphi(i)=i\cdot(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k}) \]则\[\varphi(primes{[j]} \cdot i)=primes[j] \cdot i \cdot (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k}) \]即\[\varphi(primes{[j]} \cdot i)=primes[j] \cdot \varphi(i) \] - 当
i % primes[j] != 0时，primes[j]是i * primes[j]的最小质因子，此时i的质因子当中不包含primes[j]\[\varphi(i)=i\cdot(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\dots(1-\frac{1}{p_k}) \\ \varphi(primes{[j]} \cdot i)=p_j \cdot i \cdot (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_k})\dots(1-\frac{1}{p_j}) \\ \varphi(primes{[j]} \cdot i)=p_j \cdot \varphi(i) \cdot (1-\frac{1}{p_j}) = \varphi(i) \cdot (primes[j] - 1) \]
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt; //存储质数和其对应的下标
bool st[N]; // 标记数组，true为合数，false为质数
int phi[N]; // 存储欧拉函数
LL get_eulers(int n)
{
// 由定义知小于等于1的数中，1只与自身互质
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if (!st[i]) {
primes[cnt ++] = i;
// 当i是质数时，其欧拉函数等于n-1
phi[i] = i - 1;
}
// 从小到大枚举质数
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) {
st[primes[j] * i] = true;
/*
* 如果i % primes[j] == 0，则primes[j]就是i的最小质因子
* 则i * primes[j+k]应该用更小的质因子筛去（i的质因子primes[j] < primes[j+k]）
* 由于primes[j]是i的质因子，所以i所含的质因子与primes[j]*i的质因子相同
*/
if (i % primes[j] == 0) {
phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i];
break;
}
/*
* 如果i % primes[j] != 0，则primes[j]不是i的质因子
* 则primes[j] * i除了i的质因子之外，多了一个质因子primes[j]
*/
phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
}
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += phi[i];
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
cout << get_eulers(n) << endl;
return 0;
}