Pollard-rho找到\(n\)的一个非平凡因子。暴力发现\(n\)的因子数\(\omega(n)\)实际很少，我们考虑随机一个数，判断是否和\(n\)有公因子，显然很劣。生日悖论：随机\(k\)个值域大小为\(n\)的数，当\(k\ge\sqrtn\)时，\(k\)个数两两不同的几率几乎为\(0\)。以下忽

本文目录1基本原理2算法步骤3数学示例4python代码1基本原理Pollard’sRho算法是由约翰·波拉德（JohnPollard）于1975年提出的一种用于整数因数分解的概率算法。它以高效性和实现简洁著称。核心原理伪随机序列生成：利用一个简单的迭代函数生成一个伪随机

不会复杂度，正确性核心思想\(\rightarrow\)生日悖论Miller-Rabin素性测试分为两步，判断\(p\)是否是素数1，取一个底数\(a\)，\(2^{31}\)以内取\(\{2,7,61\}\)三个即可2，设\(2^tu=p-1\)，依次判断\(a^{2^ku}(0\lek\let)\)是否等于\(1\)，如果是，那么通过当前测试bool

1Miller-Rabin算法1.1引入Miller-Rabin的主要作用就是判断一个较大的数是不是质数。那么根据基础数论中提到过的试除法，我们知道朴素去判断一个数是否是质数的复杂度是\(O(\sqrtn)\)的，在\(n\ge10^{18}\)的时候就十分不优了。而Miller-Rabin则是基于费马小定理进行

P4718https://www.luogu.com.cn/problem/P4718要求找最大的素因子，考虑可能出现在因子的因子中，所以需要递归i64max_prime(i64n){if(isp(n)){returnn;}i64mx{std::numeric_limits<i64>::min()};while(n!=1){autodiv{findDiv(n)};mx

Miller-Rabin可以帮助我们快速判断一个大数是不是质数，现在已经有了确定性算法。在\(2^{64}\)范围内，我们可以快速地进行确定性判素。二次校验定理：若\(p\)为奇质数，则\(a^x\equiv1\pmodp\)的解为\(x=±1\)。我们有这样的流程：令\(d=p-1\)，然后不断检验\(a^d\)

Miller_Rabin首先考虑方程\(x^2\equiv1\pmodn\)。可以写成\((x+1)(x-1)=kn\)。当\(n\)为素数时，只可能\(n\midx+1\)或\(n\midx-1\)，反之合数不满足。得到结论：在模素数意义下，一个数的平方等于\(1\)当且仅当这个数同余于\(1\)或\(-1\)。我们知道，

参见洛谷模板题题解，这里只有代码实现。一些强数据参考（输出了最大质因子）79223372036854775783Prime9223371994482243049303700049392232532901085832072097143214748364822147483647Prime21471175694633721417005691289#include<bits/stdc++.h>usingnamespace

52Things:Number35:GivetheroughideaofPollardrho,Pollard"kangaroo"andparallelPollardrhoattacksonECDLP.52件事：第35件：大致了解Pollardrho、Pollard“袋鼠”和平行的Pollardrho对ECDLP的攻击。 Thisisthelatestinaseriesofblogpoststoadd

数论——Pollard-Rho学习笔记非平凡因数：\(n\)除了\(1\)和\(n\)以外的因数。Pollard-Rho算法是一种用于快速分解非平凡因数的算法。Pollard-Rho能在期望复杂度\(\mathcalO(n^{1/4})\)的时间内找到\(n\)的最小的非平凡因数。而根据Pollard-Rho，我们可以用来加速质

大数因数分解Pollard_rho#include<iostream>#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#include<cstring>#include<map>usingnamespacestd;constinttimes=50;intnumber=0;map<long

引入众所周知，素数的判断在longlong级别是不能\(O(\sqrt{n})\)硬上的。那怎么办呢？？参考文献。ababab，先来最低效的。以下复杂度均考虑高精。1.试除法\(O(\sqrtn)\)枚举，\(n\le10^{14}\)。优化只枚举质数，无法优化预处理质数时间。2.Millar-Rabinlonglong：\(O(k\t

前言其实很早就看到过了，下定决心去学的，居然是因为翻到之前口胡的题目，然后发现之前做法假了，继续尝试做的时候发现需要这个算法，于是，题目就绿->黑了。Step.1引入求一个数的所有因数，这个问题伴随了我们很久了，现在又要翻出来鞭尸。最开始的时候，我们使用的是最朴素的\(O(n)\)试除

Miller-Rabin素性检测部分内容摘自题解P4718/论Miller-Rabin算法的确定性化-It'sLUNATICtime!)根据费马小定理，若\(p\)为素数，那么对于\(1\leqa<p\)，都有\(a^{p-1}\equiv1\pmodp\)。因此，若存在\(1\leqa<p\)使得\(a^{p-1}\not\equiv1\pmodp\)，那么

补写算法流程。生日悖论：值域为\(n\)，时，期望随机\(O(\sqrt{n})\)（OI-wiki上给的是\(\sqrt{2n\ln2}\)）个数有数字相同。（感觉有点奇怪，原表述是这么多次有数字相同的概率是\(\frac{1}{2}\)。）算法流程：尝试分解\(n\)的最小非平凡因子\(m\)设\(f(x)=x^2+c\)，所有运算模

先写一下MillerRabin（具体介绍见老板的PPT）对于该算法，先要知道二次探测定理。这个比较简单，看PPT即可但还是要解释一个东西。PPT里面在举例子的时候，用\(2^{340}\)为例子，并说明\(2^{170}\)%\(341\)的结果只能是1或者340，这与二次探测定理的\(x\)要小于\(p\)不矛盾，因为PPT说的是\(2^{

今天打模拟赛的时候没想到\(T1\)要这鸟玩意，不会，赛后去学习了一下\(Miller-Rabin\)这个东西是干嘛的捏首先我们有两个前置知识。费马小定理，当\(p\)为质数时，\(a^{p-1}\equiv1(mod\p)\)

P4718Miller_Rabin用于检测大数素性（$\sqrt{n}\ge1e8$）.对于素数$P$,有费马小定理：对于任意$a\in\lbrack1,P),a^{P-1}\equiv1:(mod:P)$枚举$\lbrack1,P)$中的任意$a$,若均满足其逆定理$a^{P-1}\equiv1:(mod:p)$,则$P$大概率

项目实现：implementtheRhomethodofreducedSM3实验内容：该实验设计f函数为\(f:H(x)\),即\(W_i=H(W_{i-1})\)(除第一次输入信息\(m\)外，f函数输入输出均为256bit)Polladrrhomethodtofingcollision：利用了生日悖论，使碰撞的复杂度降到\(O(\sqrtn)\)级别，同时能有效避免

Pollard-Rho分解算法Pollard-Rho算法是一种用于快速找到\(n\)的一个非平凡约数的方法。生日悖论在不少于\(23\)个人中至少有两人生日相同的概率已经大于\(50\%\)。更一般的形式，随机选取在\(\left[1,N\right]\)范围内的整数，期望到第\(O(\sqrt{N})\)个出现重复。用下面的方

代码：importjava.math.BigInteger;importjava.security.SecureRandom;classPollardRho{privatefinalstaticBigIntegerZERO=newBigInteger("0");privatefinalstaticBigIntegerONE=newBigInteger("1");privatefina

\(\gcd(|x_i-x_j|,n)\)暴力枚举\(i,j\)复杂度过高，于是构造伪随机函数，根据伪随机函数的性质枚举一个\(j-i=d\)相当于判掉所有距离为\(d\)的\(i',j'\)，但枚举的\(i\)

\(f(x)=x^2+c\)满足：\(\forallx\equivy\pmodn\),\(f(x)\equivf(y)\pmodn\).用\(f(x)\)生成一列数\(a_0=x,a_n=f^{(n)}(x)=f(a_{n-1})\).这意味着对要分解

Miller_Rabin测试如果需要快速测试一个数是否是素数，有筛法与试除法此处介绍的是一种基于费马小定理的不确定性算法，当然，这种算法的出错率是极其微小的，尤其当选择的测试数较多

PollardRho从未如此美妙的开局，请为我欢呼，为我喝彩，ok？快速乘使用黑科技，取前\(12\)个质数可以保证正确性，注意Pollard中t++%40不要打错。#include<cstdio>#include<