本段核心内容：
\[Ax=b \]一些概念
打 OI 的应该很熟悉，略去。
矩阵乘法的性质
TODO:
Gauss Elimination
TODO:
Gauss elimination 得到的矩阵是一个类似上三角的阶梯型，称为 Row echelon form。
不妨将矩阵 \(A\) 的 Row echelon form 记为 \(\text{ref}(A)\)。
矩阵 \(A\) 的 Pivot variable 个数称为矩阵 \(A\) 的秩，记为 \(\text{rank}(A)\)。
在 Mathematica 中为
MatrixRank函数。
Gauss–Jordan Elimination
Gauss Elimination 反着往上消。
得到一个 Reduced row echelon form。
不妨将矩阵 \(A\) 的 Reduced row echelon form 记为 \(\text{rref}(A)\)。
在 Mathematica 中为
RowReduce函数。
Transpose
TODO: \(A^T\)
在 Mathematica 中为
Transpose函数。
Vector Space
严谨定义：Wiki
虽然跟抽代扯上了关系，但是其主要思想为：
- 对向量加法封闭
- 对数乘封闭
即若 \(x,y \in V\)，它们的 Combination \(ax+by \in V\)。
Subspace
\(A\) 是 \(B\) 的子集，且是 Vector Space，则称 \(A\) 是 \(B\) 的 Subspace。
两个 Subspace 的交还是 Subspace。
Column Space
矩阵 \(A\) 的 Column Space 记作 \(C(A)\)，表示 \(A\) 的各列的 Combination 组成的 Vector Space。显然属于 Subspace 的一种。
\(Ax=b\) 有解的充要条件是 \(b \in C(A)\)。
Null Space
矩阵 \(A\) 的 Null Space 记作 \(N(A)\)，表示 \(Ax=0\) 的所有解。显然它是一个 Vector Space，当然属于 Subspace 的一种。
Example
求：
\[N\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix}\right)\]Solution
注意到给 \(A\) 乘上任何可逆矩阵都不会改变 \(N(A)\)。
而给 \(A\) 做 Gauss Elimination 相当于给 \(A\) 乘上一个可逆矩阵，因此不改变 \(N(A)\)。
\[\text{ref}(A) = \begin{bmatrix} \boxed{1} & 2 & 2 & 2 \\ & & \boxed{2} & 4 \\ & & & \\ \end{bmatrix}\]\(x_1,x_3\) 是 Pivot variable，\(x_2,x_4\) 是 Free variable。我们可以任意给 Free variable 赋值，反着接触 Pivot 的值。
因此 \(N(A)\) 是一个 \(m - \text{rank}(A)\) 维空间，我们选取一组 Basis。
为了方便，不妨选取 \(x_2=1, x_4=0\) 与 \(x_2=0, x_4=1\) 的解。计算可得：
\[x = c_1 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \]为 \(Ax=0\) 的通解，即 \(N(A)\) 的所有元素。