高等数学学习笔记 ☞ 数列与数列的极限

1. 数列基本概念

1. 定义：就是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的一列有序的数。

备注：
①：数列中的每一个数叫做这个数列的项。

②：排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，以此类推，排在第 $n$ 位的数称为这个数列的第 $n$ 项。

2. 一般形式： $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n},a_{n+1}...$ 。记作： $\left \{ a_{n} \right \}$ ，其中 $a_{n}$ 称为该数列的通项， $n$ 为正整数。

备注：

（1）数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

（2）用符号 $\left \{ a_{n} \right \}$ 表示数列，只不过是“借用”集合的符号而已。数列与集合的区别如下：

①：集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。

②：集合中的元素是无序的，而数列中的项必须是有序的。

（3）数列的通项不一定存在。

3. 等差数列与等比数列：

（1）等差数列：①：通项公式： $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 。 ②：求和公式： $S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$ 。

（2）等比数列：①：通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$ 。 ②：求和公式： $S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq 1)$ 。

2. 数列的极限基本概念

1. 数列的极限定义：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，存在一个常数 $a$ ，对于任意的 $\varepsilon>0$ (很小的一个数)，若存在正整数 $N$ (指数列的第 $N$ 项)，

当 $n>N$ 时(指第 $N$ 项后边的所有项)，有 $|x_{n}- a| < \varepsilon$ ，即 $(a-\varepsilon< x_{n} < a+\varepsilon )$ (指 $x_{n}$ 的落在小区间内)，

那么①：称数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 收敛于 $a$ 。②：称 $a$ 为数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的极限，记作 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ 。

备注：

①： $n\rightarrow \infty$ 的含义：指的是从坐标轴上看， $n$ 趋近于无穷远处。数列的极限的定义就是要求 $n\rightarrow \infty$ 。

②：因为 $n$ 为正整数，故 $n$ 趋近于无穷大指的是趋于 $n$ 正无穷大，记作 $n\rightarrow +\infty$ ，简记： $n\rightarrow \infty$ 。

③： $\varepsilon$ ：是一个很小的一个数，小到随便说一个数， $\varepsilon$ 都比这个数小。

④：有限数列不存在极限的概念，只有无限数列才具备极限的概念。

小贴士：

（1）取整函数：①：形如 $y=[x]$ ， $x\in R$ 的函数，称为取整函数。 ②： $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数。

（2）一般来说， $N$ 随着 $\varepsilon$ 的变小而变大，通常把 $N$ 写作 $N(\varepsilon )$ ，以强调 $N$ 对 $\varepsilon$ 的变化而变化的依赖性，但并不意味着

$N$ 由 $\varepsilon$ 唯一确定的。对于极限的定义而言，重要的是 $N$ 的存在性，而不在于其值得大小。

（3）证明数列的极限，根据数列的极限的定义可知，关键点就在于找到 $N$ 的值，若要找 $N$ 的值，出发点就在于

当 $n>N$ 时，不等式 $|x_{n}- a| < \varepsilon$ 是否成立。

2. 数列的收敛与发散：

①：收敛数列：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，当 $n$ 趋近于无穷大时，数列的极限存在且等于一个常数。

②：发散数列：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，当 $n$ 趋近于无穷大时，数列的极限不存在。

备注：

①：数列的极限可以为无穷大 $\infty$ ，但数列的极限为无穷大时属于极限不存在的一种，不能认为极限是存在的。

②：数列(函数)的收敛性描述的是数列(函数)逐渐趋近于某个特定值的过程，而数列(函数)的极限描述的则是

这一趋近过程的最终结果，简而言之，收敛是过程，极限是结果。

3. 数列的极限性质：

（1）唯一性：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是收敛的，那么数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 极限存在且唯一。

（2）有界性：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，如果存在 $M(M>0)$ ，使得对于任意的 $x_{n}$ ，都有 $|x_{n}|\leq M$ ，则称数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是有界的。

①：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是收敛的，那么数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是有界的。但是，若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是有界的，那么数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 不一定是收敛的。

$\Rightarrow$ 数列有界是数列收敛的必要条件，不是充分条件。

②：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是无界的，那么数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 一定是发散的。但是数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是发散的，那么数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 不一定是无界的。

$\Rightarrow$ 数列无界是数列发的充分条件，不是必要条件。

（3）保号性：

①：若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ ， $a>0$ ，则存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时， $x_{n}>0$ 。

②：若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ ， $a<0$ ，则存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时， $x_{n}<0$ 。

③：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 从某项起， $x_{n}\geq 0$ ，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ ，则 $a\geq 0$ 。

④：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 从某项起， $x_{n}\leq 0$ ，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ ，则 $a\leq 0$ 。

⑤：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 从某项起， $x_{n}> 0$ ，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ ，则 $a\geq 0$ 。

⑥：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 从某项起， $x_{n}<0$ ，且 $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a$ ，则 $a\leq 0$ 。

总结：

①：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是收敛的，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是有界的，且极限存在。

②：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是有界的，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 不一定是收敛的，极限也不一定存在。 $eg:x_{n}=(-1)^{n}$

③：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 极限是存在的，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 一定是收敛的，且有界。

4. 数列的子数列：已知数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ ，从中选出无限多项，并按照原来位置重新排列，构成的新数列称为数列的子数列。

5. 数列的子数列性质：

①：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的极限为 $a$ ，则其任意子数列也收敛，且剑仙也是 $a$ 。

②：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的某一子数列是发散的，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是发散的。

③：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 的两个子数列收敛于不同的极限，则数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是发散的。

④：若数列 $\left \{ x_{n} \right \}$ 是发散的，那么它也可以有收敛的子数列。

⑤： $\displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{n} = a \Leftrightarrow \displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{2n} = \displaystyle\lim_{n \to \infty }x_{2n+1} = a$

小贴士：

①

②

③

④

⑤

⑥

标签：收敛,数列,笔记,极限,mathcode,net,高等数学,eq
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