1.矩阵的基本概念&意义&特殊矩阵&基本运算
1.1 矩阵的定义：
矩阵是由\(m \times n\)个数排成的数表。
如以下矩阵：
\[X= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\\ &&......\\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & ... & x_{mn}\\ \end{bmatrix} \]其中：
(1) \(X\)为矩阵名称，亦可记为\(X_{mn}\)
(2) \(x_{ij}(i=1,2,3,...,m;j=1,2,3,...,n)\)为矩阵X中的元素，简称元
(3)\(x_{ij}\)可称为X的(i,j)元；X矩阵亦可记为\((x_{ij})\)矩阵或\((x_{ij})_{mn}\)矩阵
1.2矩阵的意义
若存在变量\(x_i\)，变量\(y_j\)，系数\(a_{ij}\)，其中(i=1,2,3,...,m)，(j=1,2,3,...,n)
则可用矩阵表示\(x_i\)到\(y_j\)的线性变换：
\[\begin{cases} y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n\\ y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n\\ y_3=a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+...+a_{3n}x_n\\ ......\\ y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n \end{cases} \]1.3特殊矩阵
1.3.1 单位矩阵
若存在变量\(x_i\)，变量\(y_j\)，其中(i=1,2,3,...,m)，(j=1,2,3,...,n)，且\(x_i\)到\(y_j\)的线性变换满足：
\[\begin{cases} y_1=x_1\\ y_2=x_2\\ y_3=x_3\\ ......\\ y_m=x_n\\ \end{cases} \]则称\(x_i\)到\(y_j\)的变换为\(恒等变换\)，对应的矩阵称为\(单位矩阵\)，用字母\(E\)或字母\(I\)表示：
\[E= \begin{bmatrix} 1 &0&...&0 &0 &0 \\ 0 &1 & 0 &...&0 &0\\ 0 & 0 & 1 &0 &... &0\\ & & &......\\ 0 & 0 & 0 &... &1 &0\\ 0 & 0 & 0 &... &0 &1 \end{bmatrix}\\ \]1.3.2 对角矩阵
若存在变量\(x_i\)，变量\(y_j\)，其中(i=j=1,2,3,...,n)，且\(x_i\)到\(y_j\)的线性变换满足：
\[\begin{cases} y_1=\lambda_1 x_1\\ y_2=\lambda_2 x_2\\ y_3=\lambda_3 x_3\\ ......\\ y_n=\lambda_n x_n\\ \end{cases} \]则对应的矩阵称为\(对角矩阵\)，可用任意大写字母表示：
\[A= \begin{bmatrix} \lambda_1 &0&...&0 &0 &0 \\ 0 &\lambda_2 & 0 &...&0 &0\\ 0 & 0 & \lambda_3 &0 &... &0\\ & & &......\\ 0 & 0 & 0 &... &0 &\lambda_n \end{bmatrix}\\ \]1.4矩阵的基本运算
设存在以下矩阵：
\[X= \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2n}\\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & ... & x_{3n}\\ &&......\\ x_{m1} & x_{m2} & x_{m3} & ... & x_{mn}\\ \end{bmatrix} \]\[Y= \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} & y_{13} & ... & y_{1n}\\ y_{21} & y_{22} & y_{23} & ... & y_{2n}\\ y_{31} & y_{32} & y_{33} & ... & y_{3n}\\ &&......\\ y_{m1} & y_{m2} & y_{m3} & ... & y_{mn}\\ \end{bmatrix} \]1.4.1 矩阵的加法运算
- 根据已知的X、Y矩阵，可得：
- 矩阵的加法运算律：
1.4.2 矩阵的乘法运算
- 根据已知的X矩阵，数$\lambda $与矩阵X相乘可得：
- 根据已知的X矩阵、Y矩阵相乘可得：
- 矩阵的乘法运算律