1.逆矩阵的定义

对于n阶矩阵A，存在一个n阶矩阵B，使：

$$
AB=BA=E
$$

则称矩阵A是可逆的。

且B是A的逆矩阵，简称“逆阵”，记为：

$$
B=A^{-1}
$$

2.对逆矩阵的理解

若存在矩阵$A_{n×n}$、$x_{n×1}$、$b_{n×1}$，使：

$$
b=Ax
$$

又存在矩阵$B_{n×n}$，使：

$$
AB=E
$$

则:

$$
Bb=ABx \
\Rightarrow Bb=Ex\
\Rightarrow x=Bb
$$

3.逆矩阵相关定理

3.1 定理1：若矩阵A可逆，则：$|A|\neq0$

定理1的证明：

由A可逆，得：

$$
A.A^{-1}=E\
{\Rightarrow}|A|.|A^{-1}|=|E|=1\
{\Rightarrow}|A|\neq0
$$

3.2 定理2：若$|A|\neq0$，则矩阵A可逆，且$A^{-1}={A*\over|A|}$

其中：$A^*$为矩阵A的伴随阵

注：$A^$中包含|A|中每个元所对应的代数余子式，且为方便$A\times A^{*$的矩阵相乘计算，$A}$进行过转置，具体参考下文中的定理2证明过程。

定理2的证明：

若：

$$
矩阵A=
\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} ... &a_{1n}\
a_{21} &a_{22} &a_{23} ... &a_{2n} \
...\
a_{n1} &a_{n2} &a_{13} ... &a_{nn}\
\end{bmatrix}\
$$

则：

$$
矩阵A^*=
\begin{bmatrix}
A_{11} &A_{21} &A_{31} ... &A_{n1}\
A_{12} &A_{22} &A_{32} ... &A_{n2} \
...\
A_{1n} &A_{2n} &A_{3n} ... &A_{nn}\
\end{bmatrix}\
其中的任意A_{ij}表示行列式|A|中的元a_{ij}所对应的代数余子式
$$

设：

$$
A\times A^*=
\begin{bmatrix}
C_{11} &C_{12} &C_{13} ... &C_{1n}\
C_{21} &C_{22} &C_{23} ... &C_{2n} \
...\
C_{n1} &C_{n2} &C_{n3} ... &C_{nn}\
\end{bmatrix}
$$

其中,根据代数余子式相关定理可得:

$$
C_{11}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+...+a_{1n}A_{1n}=|A|\
C_{22}=a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22}+a_{23}A_{23}+...+a_{2n}A_{2n}=|A|\
C_{33}=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+...+a_{3n}A_{3n}=|A|\
...\
C_{nn}=a_{n1}A_{n1}+a_{n2}A_{n2}+a_{n3}A_{n3}+...+a_{nn}A_{nn}=|A|\
$$
$其余任意i\neq j的C_{ij}均为0$

则：

$$
A\times A^*=
\begin{bmatrix}
|A| & 0 &...... &0 &0\
0 &|A| & ...... &0 &0 \
0 &0 &|A| &...... &0\
&&.......&\
&&.......&\
0 &0 &0 &...... &|A|\
\end{bmatrix}
=|A|\times E
$$

由$A\times A^*=|A|\times E$可得：

$$
A\times {A^\over |A|}=E
\Rightarrow A^{-1}={A \over |A|}
$$
$$
其中，|A|\neq 0
$$