概念
平方根
如果 \(x^2=a\)，那么称 \(x\) 为 \(a\) 的平方根。
求 \(a\) 的平方根的过程，叫做开平方。
符号：\(x^2=a \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{a}\)
\(\star \sqrt{a}\) 叫做 \(a\) 的算术平方根
性质：
- 正数有 \(2\) 个平方根，且互为相反数。
- \(0\) 的平方根是 \(0\)。
- 负数的平方根不存在。
立方根
如果 \(x^3=a\)，那么称 \(x\) 为 \(a\) 的立方根。
求 \(a\) 的立方根的过程，叫做开立方。
符号：$x^3=a \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{a} $
性质：
- 任意一个整数都有且仅有 \(1\) 个，且符号与原数相同。
\(n\) 次方根
如果 \(x^n=a\)，那么称 \(x\) 为 \(a\) 的 \(n\) 次方根。
求 \(a\) 的 \(n\) 次方根的过程，叫做开 \(n\) 次方。
符号：分类讨论！
$1^{\circ} $ \(n\) 为 \(\ge2\) 的奇数
\(x=\sqrt[n]{a}\)
$2^{\circ} $ \(n\) 为 \(\ge2\) 的偶数
\(\mathrm{I} .a\ge0\)，则 \(x=\pm\sqrt[n]{a}\)
\(\mathrm{II} .a<0\)，则 \(x\) 在实数范围内不存在。
题目易错点
- 当题目中出现“偶次方根”时，要注意 \(x=\pm\sqrt[n]{a}\)
- 当题目中直接出现 \(\sqrt[2n]{……}\) \((n\in Z^+)\) 时，不需要讨论，结果为正
- 当题目中根号内有幂时，内外可以抵消，如果根号上抵消完，则去掉根号；如果根号上还剩下 \(2\)，\(2\) 略写