多重根式的化简

题目1：$ \sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}} $

解法1、硬解

记原式为A， 则 $ A^2 = (\sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}})^2 = 3+\sqrt{5} - 2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} + 3-\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{3^{2} - \sqrt{5}^2} = 2 $

$ \because A > 0 $

$ \therefore A = \sqrt{2} $

解法2、换元法

令 $ u = \sqrt{3+\sqrt{5}} , v = \sqrt{3-\sqrt{5}}$

$ u^{2} = 3 + \sqrt{5}, v^{2} = 3 - \sqrt{5} $

$ u^{2} + v^{2} = 6, u^{2} - v^{2} = 2\sqrt{5}, uv = 2 $

$ (u+v)^{2} = u^{2} + v^{2} + 2uv = 10 $

$ u+v = \sqrt{10} $

$ u-v = \frac{u^{2} - v^{2}}{u+v} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2} $

解法3、凑完全平方

注意观察原式子中，第二层根号前面的系数是1（不是2的倍数），很自然想到要凑完全平方，需要乘以2。乘以2之后，可以看到第二层根号是完全平方的形式。

$ 原式 = \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{6-\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt5+1)^2}{2}} - \sqrt{\frac{(\sqrt5-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{5} + 1) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{2} $

小结：当根号内的式子能够凑成完全平方的时候，建议用上述解法3，最省事。其中第二重根号的系数，可能需要适当乘以某个系数（可能是2或者4之类的）才能看出来是完全平方的形式。

题目2：$ \sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}} + \sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}} $

解法1、硬解

这个题，可能硬解反而更省事（因为此时第二重根号不好凑成完全平方）。

$ 原式^2 = 3+\sqrt{5+2\sqrt{3}} + 2\sqrt{(3+\sqrt{5+2\sqrt{3}})(3-\sqrt{5+2\sqrt{3}})} + 3-\sqrt{5+2\sqrt{3}} =6 + 2\sqrt{9 - (5+2\sqrt{3})} = 6 + 2\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = 6 + 2\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = 4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3}+1)^2 $

$ \therefore 原式 = \sqrt{3} + 1 $