关于一类根式幂的模意义下周期推导

标签：根式 推导 sqrt times 循环 一类 根号

对于一种特征方程，可能会得到带根号的通项。如斐波那契数列。这类一般会有两个带根号的部分。

若存在二次剩余，由费马小定理，有循环 \((p-1)\)。否则：

设 \(x=a+b\times\sqrt c,y=a-b\times\sqrt c\) 模数为 \(p\)。

则

\[x^p=-y\times x\times x^p=-y\times(x\times(a^p+b^p\times c^{\frac{p-1}{2}}\times\sqrt c))=-y\times((a+b\times\sqrt c)\times(a-b\times\sqrt c)) \]

即 \(x^p=y\)，可推出循环节 \(2p+2\)。

具体问题重新推导。

如 \(x=5+2\sqrt6\)，有更小循环 \(p+1\)。

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