数学中的连分式、无穷连根式、平方根

连分式

        连分式（continued fraction）由和与倒数的多层嵌套构成，可以是有限的，也可以是无限的。

表达式：或

import math


def fraction_to_continued_fraction(numerator, denominator, max_terms):
    """
    计算一个分数的连分式表示。

    参数:
    numerator (int): 分数的分子。
    denominator (int): 分数的分母。
    max_terms (int): 连分式表示的最大项数。

    返回:
    list: 连分式的部分分母组成的列表。
    """
    coefficients = []
    current_numerator = numerator
    current_denominator = denominator

    while current_denominator != 0 and len(coefficients) < max_terms:
        quotient = current_numerator // current_denominator
        coefficients.append(quotient)
        remainder = current_numerator % current_denominator
        current_numerator, current_denominator = current_denominator, remainder

    return coefficients


def continued_fraction_to_decimal(coefficients):
    """
    将连分式转换为十进制表示的数字。

    参数:
    coefficients (list): 连分式的部分分母组成的列表。

    返回:
    float: 连分式对应的十进制数。
    """
    if not coefficients:
        return 0.0

    decimal_value = coefficients[-1]
    for coefficient in reversed(coefficients[:-1]):
        decimal_value = 1 / decimal_value + coefficient

    return decimal_value


def real_number_to_continued_fraction(x, error_tolerance, max_terms):
    """
    计算一个实数的连分式表示，考虑误差容忍度和最大项数。

    参数:
    x (float): 要表示的实数。
    error_tolerance (float): 允许的误差范围。
    max_terms (int): 连分式表示的最大项数。

    返回:
    list: 连分式的部分分母组成的列表。
    """
    coefficients = []
    integer_part = int(x)
    fractional_part = x - integer_part
    coefficients.append(integer_part)

    while fractional_part > error_tolerance and len(coefficients) < max_terms:
        reciprocal = 1 / fractional_part
        next_term = int(reciprocal)
        coefficients.append(next_term)
        fractional_part = reciprocal - next_term
        current_decimal = continued_fraction_to_decimal(coefficients)
        if abs(current_decimal - x) < error_tolerance:
            break

    return coefficients


if __name__ == '__main__':
    fraction_test = fraction_to_continued_fraction(105, 33, 10)
    print('该测试分数的连分式表示：', fraction_test)
    print('测试分数的分布式转十进制数为：', continued_fraction_to_decimal(fraction_test))

    # 计算小数3.1415926的连分式表示
    pi_value = 3.1415926  # 近似π值
    error_tolerance = 1e-5  # 误差容忍度
    max_terms = 10  # 连分式的最大项数

    pi_fraction_real = real_number_to_continued_fraction(pi_value, error_tolerance, max_terms)
    print("小数3.1415926的连分式表示:", pi_fraction_real)

该测试分数的连分式表示： [3, 5, 2]
测试分数的分布式转十进制数为： 3.1818181818181817
小数3.1415926的连分式表示: [3, 7, 15, 1] 

无穷连根式

  表达式： 

import math


def infinite_nested_radical_recursive(a, n):
    """
    递归计算无穷连根式的近似值。

    参数:
    a (float): 连根式中的常数。
    n (int): 递归深度，用于近似计算。

    返回:
    float: 无穷连根式的近似值。
    """
    if n == 1:
        return math.sqrt(a)
    return math.sqrt(a + infinite_nested_radical_recursive(a, n - 1))


# 示例：计算 a = 2 的无穷连根式近似值
a = 2
recursion_depth = 10
approximation_recursive = infinite_nested_radical_recursive(a, recursion_depth)
print(f"a = {a} 的无穷连根式近似值 (递归深度 {recursion_depth}): {approximation_recursive}")

 a = 2 的无穷连根式近似值 (递归深度 10): 1.9999976469034038

平方根

        可以使用巴比伦算法求数字的平方根。

        假设数字为，步骤如下：

1.  猜测，作为的猜测值
2. 计算
3. 将和的平均值当作新的猜测值
4. 重复步骤2和3，直到足够小

import math


def babylonian_sqrt(value, initial_guess, tolerance):
    """
    使用巴比伦算法计算平方根的近似值。

    参数:
    value (float): 要求平方根的数。
    initial_guess (float): 初始猜测值。
    tolerance (float): 误差容忍度。

    返回:
    float: 近似的平方根值。
    """
    current_error = tolerance * 2  # 初始设置一个较大的误差值
    guess = initial_guess

    while current_error > tolerance:
        quotient = value / guess
        new_guess = (guess + quotient) / 2
        current_error = abs(new_guess**2 - value)
        guess = new_guess

    return guess


# 测试平方根计算
value_to_sqrt = 5
initial_guess = 1
tolerance = 1e-15

approx_sqrt = babylonian_sqrt(value_to_sqrt, initial_guess, tolerance)
print(f"使用巴比伦算法计算的 {value_to_sqrt} 的平方根近似值: {approx_sqrt}")
print(f"math.sqrt({value_to_sqrt}) 的结果: {math.sqrt(value_to_sqrt)}")

使用巴比伦算法计算的 5 的平方根近似值: 2.23606797749979
math.sqrt(5) 的结果: 2.23606797749979