分式展开法妙解信号与系统中的复杂分式

具体步骤如下：

1. 原始表达式：
   4 + 3 e − j n ( 1 − 0.25 e − j n ) ( 1 − 0.5 e − j n ) ( 1 − 0.75 e − j n ) \frac{4 + 3e^{-jn}}{(1 - 0.25e^{-jn})(1 - 0.5e^{-jn})(1 - 0.75e^{-jn})} (1−0.25e−jn)(1−0.5e−jn)(1−0.75e−jn)4+3e−jn​

2. 部分分式展开：
   4 + 3 e − j n ( 1 − 0.25 e − j n ) ( 1 − 0.5 e − j n ) ( 1 − 0.75 e − j n ) = a 1 − 0.25 e − j n + b 1 − 0.5 e − j n + c 1 − 0.75 e − j n \frac{4 + 3e^{-jn}}{(1 - 0.25e^{-jn})(1 - 0.5e^{-jn})(1 - 0.75e^{-jn})} = \frac{a}{1 - 0.25e^{-jn}} + \frac{b}{1 - 0.5e^{-jn}} + \frac{c}{1 - 0.75e^{-jn}} (1−0.25e−jn)(1−0.5e−jn)(1−0.75e−jn)4+3e−jn​=1−0.25e−jna​+1−0.5e−jnb​+1−0.75e−jnc​

3. 求解系数 (a)：
   将等式两边乘以 (1 - 0.25e^{-jn})，然后令 (e^{-jn} = 4) 以消去其他项：
   ( 1 − 0.25 e − j n ) ⋅ 4 + 3 e − j n ( 1 − 0.25 e − j n ) ( 1 − 0.5 e − j n ) ( 1 − 0.75 e − j n ) = a ⋅ 1 − 0.25 e − j n 1 − 0.25 e − j n + b ⋅ 1 − 0.25 e − j n 1 − 0.5 e − j n + c ⋅ 1 − 0.25 e − j n 1 − 0.75 e − j n (1 - 0.25e^{-jn}) \cdot \frac{4 + 3e^{-jn}}{(1 - 0.25e^{-jn})(1 - 0.5e^{-jn})(1 - 0.75e^{-jn})} = a \cdot \frac{1 - 0.25e^{-jn}}{1 - 0.25e^{-jn}} + b \cdot \frac{1 - 0.25e^{-jn}}{1 - 0.5e^{-jn}} + c \cdot \frac{1 - 0.25e^{-jn}}{1 - 0.75e^{-jn}} (1−0.25e−jn)⋅(1−0.25e−jn)(1−0.5e−jn)(1−0.75e−jn)4+3e−jn​=a⋅1−0.25e−jn1−0.25e−jn​+b⋅1−0.5e−jn1−0.25e−jn​+c⋅1−0.75e−jn1−0.25e−jn​
   当 (e^{-jn} = 4) 时，((1 - 0.25 \cdot 4) = 0)：
   4 + 3 ⋅ 4 ( 1 − 0.5 ⋅ 4 ) ( 1 − 0.75 ⋅ 4 ) = a \frac{4 + 3 \cdot 4}{(1 - 0.5 \cdot 4)(1 - 0.75 \cdot 4)} = a (1−0.5⋅4)(1−0.75⋅4)4+3⋅4​=a
   4 + 12 ( 1 − 2 ) ( 1 − 3 ) = a \frac{4 + 12}{(1 - 2)(1 - 3)} = a (1−2)(1−3)4+12​=a
   16 ( − 1 ) ( − 2 ) = a \frac{16}{(-1)(-2)} = a (−1)(−2)16​=a
   16 2 = a \frac{16}{2} = a 216​=a
   a = 8 a = 8 a=8

4. 求解系数 (b)：
   类似地，将等式两边乘以 (1 - 0.5e^{-jn})，然后令 (e^{-jn} = 2) 以消去其他项：
   ( 1 − 0.5 e − j n ) ⋅ 4 + 3 e − j n ( 1 − 0.25 e − j n ) ( 1 − 0.5 e − j n ) ( 1 − 0.75 e − j n ) = b ⋅ 1 − 0.5 e − j n 1 − 0.5 e − j n + a ⋅ 1 − 0.5 e − j n 1 − 0.25 e − j n + c ⋅ 1 − 0.5 e − j n 1 − 0.75 e − j n (1 - 0.5e^{-jn}) \cdot \frac{4 + 3e^{-jn}}{(1 - 0.25e^{-jn})(1 - 0.5e^{-jn})(1 - 0.75e^{-jn})} = b \cdot \frac{1 - 0.5e^{-jn}}{1 - 0.5e^{-jn}} + a \cdot \frac{1 - 0.5e^{-jn}}{1 - 0.25e^{-jn}} + c \cdot \frac{1 - 0.5e^{-jn}}{1 - 0.75e^{-jn}} (1−0.5e−jn)⋅(1−0.25e−jn)(1−0.5e−jn)(1−0.75e−jn)4+3e−jn​=b⋅1−0.5e−jn1−0.5e−jn​+a⋅1−0.25e−jn1−0.5e−jn​+c⋅1−0.75e−jn1−0.5e−jn​
   当 (e^{-jn} = 2) 时，((1 - 0.5 \cdot 2) = 0)：
   4 + 3 ⋅ 2 ( 1 − 0.25 ⋅ 2 ) ( 1 − 0.75 ⋅ 2 ) = b \frac{4 + 3 \cdot 2}{(1 - 0.25 \cdot 2)(1 - 0.75 \cdot 2)} = b (1−0.25⋅2)(1−0.75⋅2)4+3⋅2​=b
   4 + 6 ( 1 − 0.5 ) ( 1 − 1.5 ) = b \frac{4 + 6}{(1 - 0.5)(1 - 1.5)} = b (1−0.5)(1−1.5)4+6​=b
   10 ( 0.5 ) ( − 0.5 ) = b \frac{10}{(0.5)(-0.5)} = b (0.5)(−0.5)10​=b
   10 − 0.25 = b \frac{10}{-0.25} = b −0.2510​=b
   b = − 40 b = -40 b=−40

5. 求解系数 (c)：
   将等式两边乘以 (1 - 0.75e^{-jn})，然后令 (e^{-jn} = \frac{4}{3}) 以消去其他项：
   ( 1 − 0.75 e − j n ) ⋅ 4 + 3 e − j n ( 1 − 0.25 e − j n ) ( 1 − 0.5 e − j n ) ( 1 − 0.75 e − j n ) = c ⋅ 1 − 0.75 e − j n 1 − 0.75 e − j n + a ⋅ 1 − 0.75 e − j n 1 − 0.25 e − j n + b ⋅ 1 − 0.75 e − j n 1 − 0.5 e − j n (1 - 0.75e^{-jn}) \cdot \frac{4 + 3e^{-jn}}{(1 - 0.25e^{-jn})(1 - 0.5e^{-jn})(1 - 0.75e^{-jn})} = c \cdot \frac{1 - 0.75e^{-jn}}{1 - 0.75e^{-jn}} + a \cdot \frac{1 - 0.75e^{-jn}}{1 - 0.25e^{-jn}} + b \cdot \frac{1 - 0.75e^{-jn}}{1 - 0.5e^{-jn}} (1−0.75e−jn)⋅(1−0.25e−jn)(1−0.5e−jn)(1−0.75e−jn)4+3e−jn​=c⋅1−0.75e−jn1−0.75e−jn​+a⋅1−0.25e−jn1−0.75e−jn​+b⋅1−0.5e−jn1−0.75e−jn​
   当 (e^{-jn} = \frac{4}{3}) 时，((1 - 0.75 \cdot \frac{4}{3}) = 0)：
   4 + 3 ⋅ 4 3 ( 1 − 0.25 ⋅ 4 3 ) ( 1 − 0.5 ⋅ 4 3 ) = c \frac{4 + 3 \cdot \frac{4}{3}}{(1 - 0.25 \cdot \frac{4}{3})(1 - 0.5 \cdot \frac{4}{3})} = c (1−0.25⋅34​)(1−0.5⋅34​)4+3⋅34​​=c
   4 + 4 ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 2 3 ) = c \frac{4 + 4}{(1 - \frac{1}{3})(1 - \frac{2}{3})} = c (1−31​)(1−32​)4+4​=c
   8 ( 2 3 ) ( 1 3 ) = c \frac{8}{(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})} = c (32​)(31​)8​=c
   8 2 9 = c \frac{8}{\frac{2}{9}} = c 92​8​=c
   c = 36 c = 36 c=36