控制之美1-第七章-主要公式

• 1. 体重变化系统动态微分方程及传递函数
• 2. 比例控制相关公式
• 3. 终值定理
• 4. 积分控制相关公式
• 5. 比例积分控制相关公式
• 6. 含有限制条件的控制器设计相关公式（饱和函数）

第七章基于传递函数的控制器设计（1）——比例积分控制，主要讨论了比例积分控制的基本原理、特性及其在体重控制等实例中的应用。以下是对本章内容的详细解读：

1. 体重变化系统动态微分方程及传递函数

体重变化系统可以描述为一个动态微分方程：
\(7000\frac{dm(t)}{dt}+10\alpha m(t)=u(t)+d(t)\)
其中，\(m(t)\)为体重，\(\alpha\)为劳动强度系数，\(u(t)\)为每日净热量输入，\(d(t)\)为扰动量。

该系统的传递函数为：
\(G(s)=\frac{X(s)}{U(s)+D(s)+7000x_{0}}=\frac{1}{7000s + 10\alpha}\)
其中，\(X(s)\)为输出，\(D(s)\)为扰动的拉普拉斯变换，\(x_{0}\)为初始体重。

2. 比例控制相关公式

比例控制是一种简单的控制方式，其控制量为误差的线性函数：
\(u(t)=K_{P}e(t)\)
其中，\(K_{P}\)为比例增益，\(e(t)\)为误差。

在拉普拉斯变换域中，比例控制可以表示为：
\(U(s)=K_{P}E(s)\)

采用比例控制时，系统输出可以表示为：
\(X(s)=\frac{K_{P}R(s)+D(s)+7000x_{0}}{7000s + 10\alpha + K_{P}}\)

通过分式分解，可以得到系统输出的时域表达式：
\(x(t)=\frac{K_{P}r-\alpha C}{K_{P}+10\alpha}+\left(x_{0}-\frac{K_{P}r-\alpha C}{K_{P}+10\alpha}\right)e^{-\frac{K_{P}+10\alpha}{7000}t}\)

系统稳态误差为：
\(e_{ss}=r - x(\infty)=\frac{10\alpha r+\alpha C}{K_{P}+10\alpha}\)

3. 终值定理

终值定理用于快速计算系统稳态值，前提是稳态值存在：
\(\lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s)\)

4. 积分控制相关公式

积分控制通过累积误差来消除稳态误差：
\(U(s)=C(s)E(s)=\frac{K_{I}}{s}E(s)\)
其中，\(K_{I}\)为积分增益。

积分控制的时域表达式为：
\(u(t)=K_{I}\int_{0}^{t}e(t)dt\)

引入积分控制后，系统输出可以表示为二阶系统的形式，并可以求出阻尼比和固有频率等参数。

5. 比例积分控制相关公式

比例积分控制结合了比例控制和积分控制的优点：
\(C(s)=K_{P}+\frac{K_{I}}{s}\)
其时域表达式为：
\(u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int_{0}^{t}e(t)dt\)

6. 含有限制条件的控制器设计相关公式（饱和函数）

在实际应用中，控制量往往受到物理限制，如执行器的最大输出力。这时可以使用饱和函数来限制控制量的幅度：
\(u(t)=\begin{cases}u_{max}&u(t)>u_{max}\\u(t)&u_{max}\geq u(t)\geq u_{min}\\u_{min}&u(t)<u_{min}\end{cases}\)
其中，\(u_{max}\)和\(u_{min}\)分别为控制量的最大值和最小值。

综上所述，本章通过体重控制等实例，详细阐述了比例积分控制的基本原理、特性及相关公式，为控制器设计提供了理论基础和实用方法。