t分布
定义 设随机变量\(X_1\)与\(X_2\)独立且\(X_1 \sim N(0,1)\)，\(X_2 \sim \chi^2(n)\)，则称\(t = \frac{X_1}{\sqrt{X_2 / n}}\)的分布为自由度为\(n\)的\(t\)分布，记为\(t \sim t(n)\)。
密度函数。
由标准正态密度函数的对称性知，\(X_1\)与\(-X_1\)有相同分布，从而t与 -t有相同分布。这意味着：对任意正实数y有
\[P(0 < t < y)=P(0 < -t < y)=P(-y < t < 0) $$， 于是， \]P(0 < t < y)=\frac{1}{2}P(t^2 < y^2)
由F变量构造可知，\(t^2=\frac{X_1^2}{n}\sim F(1,n)\)，将上式两边关于y求导可得t分布的密度函数为
\[p_t(y)=y p_{F,y^2}(y^2)=\frac{\Gamma\left(\frac{1 + n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(y^2\right)^{\frac{1}{2}-1}\left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{1 + n}{2}} \\ =\frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{y^2}{n}\right)^{-\frac{n + 1}{2}} ，-\infty < y < \infty \]这就是自由度为n的t分布的密度函数。
t分布的密度函数的图像是一个关于纵轴对称的分布，与标准正态分布的密度函数形状相似，只是峰比标准正态分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, t
import matplotlib as mpl
# 设置中文字体为黑体
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 解决负号显示问题
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 生成x轴数据
x = np.linspace(-6, 6, 1000)
# 计算标准正态分布的概率密度函数
y_norm = norm.pdf(x)
# 计算t分布（自由度为4）的概率密度函数
y_t = t.pdf(x, df=4)
# 绘制图像
plt.plot(x, y_norm, 'k--', label='N(0, 1)')
plt.plot(x, y_t, 'k-', label='t(4)')
# 添加图例
plt.legend()
# 设置标题和坐标轴标签
plt.title(" t分布与N(0,1)的密度函数")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("概率密度")
# 显示图像
plt.show()