根据输入时间步长 t t t和扩散过程中的参数 σ \sigma σ，计算标准差 std \text{std} std的值。它与扩散过程中的边际概率分布 p 0 t ( x ( t ) ∣ x ( 0 ) ) p_{0t}(x(t) | x(0)) p0t(x(t)∣x(0))的性质相关：
1. 函数目标
函数名称：marginal_prob_std
-
输入参数：
t：时间步长，可能是一个标量或张量。sigma：扩散过程中的噪声参数，用来控制噪声的增长速率。
-
输出：
- 返回的是扩散过程边际概率分布的标准差。
背景：
在随机微分方程 (SDE) 建模中，
σ
\sigma
σ通常控制噪声强度，时间
t
t
t决定扩散的进程。该公式描述了初始状态
x
(
0
)
x(0)
x(0)到当前状态
x
(
t
)
x(t)
x(t)的条件分布
p
0
t
(
x
(
t
)
∣
x
(
0
)
)
p_{0t}(x(t) | x(0))
p0t(x(t)∣x(0))的标准差变化。
2. 解析
(1) t = torch.as_tensor(t, device=device)
- 将输入时间 t t t转换为 PyTorch 张量。
device=device：确保张量在指定的设备（CPU/GPU）上进行计算。- 如果 $t $已经是张量，这一步不会改变其类型。
- 这样可以确保代码兼容数值类型或不同设备。
(2) sigma ** (2 * t)
-
σ
\sigma
σ的作用：
- 表示扩散过程的噪声控制参数。
- σ 2 t \sigma^{2t} σ2t：随着时间 t t t增加，噪声强度按指数增长。
- 如果 σ > 1 \sigma > 1 σ>1，噪声会越来越大。
- 这一部分是随机微分方程中噪声增长的关键部分。
(3) (sigma ** (2 * t) - 1)
- 计算从初始状态
x
(
0
)
x(0)
x(0)到当前状态
x
(
t
)
x(t)
x(t)的噪声增长量。
- σ 2 t − 1 \sigma^{2t} - 1 σ2t−1表示扩散过程中从初始状态累计的噪声效应。
(4) np.log(sigma)
- 对数项解释：
- 对数项的存在与时间尺度的标准化有关，用于平衡不同时间步长下噪声的增长。
- 当噪声以指数形式增长时，对数有助于调整增长率。
(5) return torch.sqrt((sigma ** (2 * t) - 1.) / 2. / np.log(sigma))
- 公式本质：
- 计算条件概率分布 p 0 t ( x ( t ) ∣ x ( 0 ) ) p_{0t}(x(t) | x(0)) p0t(x(t)∣x(0))的标准差 std \text{std} std。
- 公式来源：
std = σ 2 t − 1 2 ⋅ ln ( σ ) \text{std} = \sqrt{\frac{\sigma^{2t} - 1}{2 \cdot \ln(\sigma)}} std=2⋅ln(σ)σ2t−1 - 含义：
- σ 2 t − 1 \sigma^{2t} - 1 σ2t−1：噪声累计。
- 2 ⋅ ln ( σ ) 2 \cdot \ln(\sigma) 2⋅ln(σ)：归一化因子，用于调整噪声随时间增长的速率。
3. 数学背景
条件分布 p 0 t ( x ( t ) ∣ x ( 0 ) ) p_{0t}(x(t) | x(0)) p0t(x(t)∣x(0))
在扩散模型中，随机微分方程 (SDE) 通常具有以下形式：
d
x
=
f
(
x
,
t
)
d
t
+
g
(
t
)
d
W
dx = f(x, t)dt + g(t)dW
dx=f(x,t)dt+g(t)dW
其中：
- f ( x , t ) f(x, t) f(x,t)：漂移项。
- g ( t ) g(t) g(t)：扩散系数（噪声强度，与 σ \sigma σ有关）。
- d W dW dW：维纳过程（白噪声）。
对于特定类型的扩散模型，例如具有指数噪声增长的扩散模型，条件分布 p 0 t ( x ( t ) ∣ x ( 0 ) ) p_{0t}(x(t) | x(0)) p0t(x(t)∣x(0))可以通过边际分布推导得出，其标准差如上公式所示。
4. 使用场景
-
扩散模型：
- 模拟噪声随时间的演变，计算条件分布的特性。
- 应用于深度生成模型（如扩散模型）中，尤其是在对连续噪声过程进行建模时。
-
时间序列建模：
- 用于时间相关噪声的计算，评估噪声影响。
5. 小结
std ( t , σ ) = σ 2 t − 1 2 ln ( σ ) \text{std}(t, \sigma) = \sqrt{\frac{\sigma^{2t} - 1}{2 \ln(\sigma)}} std(t,σ)=2ln(σ)σ2t−1
- 公式中的分子描述噪声的累计增长。
- 分母用于标准化噪声增长速率。
- 函数通过 PyTorch 实现，并支持在 GPU 上高效计算。