子环

定义

设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(S\)是\(R\)的非空子集，如果\(S\)关于\(R\)的运算也构成一个环，则称\(S\)为环\(R\)的子环
例：\((m\mathbb{Z},+,\cdot)\)是整数环\(\mathbb{Z}\)的子环，整数环\(\mathbb{Z}\)是有理数环\(Q\)的子环等

判定

定理：设S是环R的非空子集, 则S为环R的子环的充分必要条件是: 对任意\(a, b \in S\), \(a - b \in S\), \(ab \in S\)

性质

若R是无零因子环, 则S也是无零因子环
当S是无零因子环时, R未必是无零因子环
若\(R\)有单位元,\(S\)可以没有单位元
若\(S\)有单位元,\(R\)可以没有单位元
若\(R\)与\(S\)都有单位元,它们的单位元可以不相同
例：整数环Z有单位元,其子环(偶数环)无单位元
例：\(A=\{\begin{pmatrix} x&y\\0&0\end{pmatrix}|x,y∈R\}\),无单位元
\(B=\{\begin{pmatrix} x&0\\0&0\end{pmatrix}|x∈R\}\),有单位元
\(A=\{\begin{pmatrix} x&y\\a&b\end{pmatrix}|x,y,a,b∈R\}\),有单位元
\(B=\{\begin{pmatrix} x&x\\0&0\end{pmatrix}|x∈R\}\),有单位元

理想

定义

设\((R,+,\cdot)\)是一个环，\(I\)是\(R\)的一个子环，如果对任意的\(a \in I\)，\(r \in R\)，都有：\(ra \in I\)，我们就称\(I\)是\(R\)的一个左理想。如果有：\(ar \in I\)，我们就称\(I\)是\(R\)的一个右理想。同时满足称\(I\)是\(R\)的一个理想（ideal）
（1）对任意一个环R，它至少存在两个理想，即：\(R\)自身和\({0}\)，称为平凡理想。
（2）\(R\)交换环，则左理想也是右理想。
（3）环内无非平凡理想，称这个环为单环。

生成子环与生成理想

设\(R\)是环，\(S\)是\(R\)的一个非空子集，则\(R\)的包含\(S\)的最小子环称为由\(S\)生成的子环或称为\(S\)的生成子环，记作\([S]\)，它是\(R\)的包含\(S\)的所有子环的交。
包含\(S\)的最小理想称为由\(S\)生成的理想或称为\(S\)的生成理想，记作\((S)\)，它是包含\(S\)的所有理想的交。
当\(S={a}\)时，由\(a\)生成的子环可表示为
\([a]=\{ \sum n_{k}a^{k} | n_{k} \in Z,k \in Z^{+} \}\).
由元素\(a\)生成的理想可表示为
\((a)=\{ \sum xay+sa+at+na | x,y,s,t \in R,n \in Z \}\).
当\(R\)是有单位元的可换环时，\((a)\)可简化为
\((a)=\{ xa | x \in R \} = aR\).
显然，由单位元生成的理想就是\(R\)：
\((1)=R\).
在\((Z,+,\cdot )\)中整数\(m\)的生成理想为
\((m)=\{ km | k \in Z \} =mZ\).
且由循环群\((Z,+)\)的性质知\((Z,+,\cdot )\)中全部理想为\((m),m=0,1,2,\cdots\)
在\((F[x],+,\cdot )\)中元素\(x\)的生成理想为
\((x)=\{ xf(x) | f(x) \in F[x]\}\)\(=\{ a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n} | a_{i} \in F,n \in Z^{+} \}\).
对环R任意一个理想I，如果它是包含元素\(a \in R\)的最小理想，那么理想I就称为环R的主理想，记为\((a)\)。
\((a)=\{\sum x_iay_i+sa+at+na\mid x_i,y_i,s,t\in R,n\in Z\}\)

商环

设\(R\)是环，\(I\)是\(R\)的一个理想，则\(I\)是加群\((R,+)\)的正规子群，\(R\)对\(I\)的加法商群为
\(R/I=\{ a+I | a \in R\}\).
记\(\bar{a}=a+I\)，在\(A/I\)中前面已定义过“模\(I\)的加法”为
\(\bar{a}+\bar{b}=a+b\).
定义过“模\(I\)的乘法”为\(\bar{a}\cdot\bar{b}=\bar{ab}\).
\(R/I\)称为\(R\)关于\(I\)的商环

素理想、极大理想

设P是环R的一个理想，若任意\(a,b\in R\)，且\(ab\in P\)，都有\(a\in P\)或\(b\in P\)，则称P是环R的一个素理想。
设M是环R的一个理想，若R中的任一理想I，满足：

均有\(I=R\)，则称M是环R的一个极大理想。
定理：设R是一个有单位元的交换环，I是R的理想，则：
（1）若I是R的素理想，则R/I是一个整环；
（2）若I是R的极大理想，则R/I是一个域。