P4728 [HNOI2009] 双递增序列

题意简述：

给我们一个序列问我们是否可以将其划分为两个单调递增的子序列

Solution:

无比神奇的状态设计：记 \(f[i][j]\) 表示考虑到 \(i\) 且将 \(a _i\) 放在 \(U\) ,\(U\) 的长度为 \(j\) 时，\(V\) 的末尾的最小值

那么我们就可以得到转移:

当 \(a_i<a_{i+1}\) 时，可以将 \(a_{i+1}\) 拼到 \(a_i\) 之后:
\(U:　........a_ia_{i+1}\)
\(V:　......f[i][len_u]\)
\(f[i+1][len_u+1]=\min{f[i+1][len_u+1],f[i][len_u]}\)

同理，当 \(f[i][len_u]<a_{i+1}\) 时，可以将 \(a_{i+1}\) 拼到 \(f\) 之后：
\(U:　.....................a_i\)
\(V:　......f[i][len_u]a_{i+1}\)
\(f[i+1][len_v+1]=\min{f[i+1][len_v+1],a_i}\)

注意：本文只是使用 \(U\) 代指当前 \(a_i\) 所在的数列，其实 \(U,V\) 本质上是可以交换的所以第二种情况中我 将 \(a_{i+1}\) 拼到了 \(V\) 那么在下一次转移时，其实我还认为他是 \(U\)
也就是说，由于 \(U,V\) 之间没有本质区别，所以我们对于每次转移，称 \(a_i\) 所在序列为 \(U\) , \(f\) 所在序列为 \(V\)

然后最后答案的判断显然就是 \(f[n][n/2]\) 是否被更新过了
_{写到这里我才发现我的注释貌似是假的
但是我题解写清楚了就行}

Code:

#include<bits/stdc++.h>
const int N=2005;
const int inf=1e9;
using namespace std;
int f[N][N];
int a[N],lim[N];
int n;
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)for(int j=0;j<N;j++)f[i][j]=inf;
}
void  work()
{
    cin>>n;
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    int lim=n>>1;
    f[1][1]=-1;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int len_U=1,len_V;len_U<=min(lim,i);len_U++)
        {
            len_V=i-len_U;
            // U: .....a[i]
            // V: .....f[i][len_V]

            // U: .....a[i],a[i+1]
            // V: .....f[i+1][len_V]()
            if(a[i]<a[i+1])f[i+1][len_U+1]=min(f[i+1][len_U+1],f[i][len_U]);
            // U: .....a[i](f[i+1][len_U]),
            // V: .....f[i][len_V],a[i+1]
            if(f[i][len_U]<a[i+1])f[i+1][len_V+1]=min(f[i+1][len_V+1],a[i]);
        }
    }
    printf(f[n][lim]==inf ? "No!\n" : "Yes!\n");
}
int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)work();
    return 0;
}