环

定义

设\(R\)是一个非空集合，在R上定义两种代数运算“+”和“·”，分别被称为加法和乘法，如果下列条件被满足：
(1)\((R,+)\)是一个交换群
(2) \(R\)关于乘法“·”，满足结合律，即\(\forall a,b,c\in R\)，有

(3) 乘法对加法的分配率成立，即对任意a,b,c∈R，有：

则\(R\) 关于“+”和“·”构成了一个环,记为 \((R,+,·)\) 简记为环\(R\)

环内特殊元素和性质

（1）环是对加法时交换群，对乘法是半群，且适合分配律的代数系统。
（2）在环\(R\)中，加法的单位元称为环\(R\)的零元，记为 \(0\) 。
（3）在环\(R\)中，对任意\(a\in R\)，其关于加法的逆元称为\(a\)的负元，记为-\(a\)
（4）如果环\(R\)的乘法满足交换律，即对任意\(a\)，\(b\in R\)，有：\(a\cdot b=b\cdot a\)，则称环\(R\)为交换环。
（5）环\(R\)对乘法运算，并不要求构成群。所以环\(R\)对乘法来说，不一定有单位元。若环\(R\)对乘法有单位元，则称环\(R\)为有单位元的环，并用“1”表示该环的单位元。
（6）若\(\exists a,b \in R\)使\(ab=0\)且\(a \neq 0,b\neq 0\)则称\(a\)为左零因子，\(b\)为右零因子，若一个元素既为左零因子又为右零因子，则称它为零因子。

环的分类

（1）环\(R\)是又单位元、可交换、无零因子的，则称环\(R\)为整环。
（2）设\((R,+,\cdot )\)是一个至少含有两个元素的有单位元环，如果对环\(R\)的任意非零元\(a\in R\)，均存在元素\(b\in R\)，使得 \(ab=ba=1\)，则环\(R\)被称为除环。（除环\(R\)是无零因子环）（\(A^*=A\)\\(\{0\}\)构成乘法群）
如果该除环还满足可交换性，则该除环被称为域 。(\((Z_n,+,·)\)是域的充要条件是\(n\)为素数)

环的性质

定理: 设\(R\)为零因子环, 则:
(1) 若 \(a \neq 0\), \(db = ac\), 则 \(b=c\)
(2) 若 \(a \neq 0\), \(ba = ca\), 则 \(b=c\)
定义: 设\(R\)是一个环，若存在最小正整数\(n\),使 \(\forall a \in R\), 都有 \(na = 0\), 则称\(n\)是环\(R\)的特征。若这样的\(n\)不存在，则称环\(R\)的特征是零。
定理: 设\(R\)为无零因子环，则\(R\)中非零元的加法阶相等，或为\(\infty\)，或为有限素数。
设\(R\)为无零因子环，则\(R\)的加法群\((R, +)\)中非零元的阶为\(∞\)时我们称环\(R\)的特征为零，记为\(Char R=0\); 当加法群\((R, +)\)中非零元的阶为有限素数\(p\)时，称\(R\)的特征为\(p\)，记为$ Char R=p$。
定理：一个非零有限的无左（右）零因子环是除环
推论：有限整环是域